Tämä lienee kurssin perinteisimpiä kysymyksiä, sillä atomien olemus on kautta aikain kiehtonut kaltaisiasi filosofeja. Sana atomihan tulee kreikan sanasta atomos eli jakamaton, joten käsite materiaalin jakamattomasta rakennuspalikasta juontaa juurensa aina antiikin aikoihin asti. Atomien luonne jäi pitkäksi ajaksi puhtaasti filosofiseksi kuvitelmaksi ja pohdinnaksi niiden pienen koon vuoksi. Esimerkiksi vetyatomin koko on noin 0,1 nm eli $10^{-10}$ metriä eli hiuksen paksuuden miljoonasosan. Kokeelliset menetelmät aina 1800−luvulle saakka olivat kehittymättömiä kuvailemaan atomien luonnetta oikein millään tavalla. Toisaalta 1800−luvun alusta lähtien atomeista alettiin saamaan kokeellisesti tiedonmurusia, joiden pohjalta alettiin kehitellä jos jonkinmoisia atomimalleja. 

Nykyään kokeissa voidaan nähdä atomeita yksitellen kuvan 1 tapaan ja moderni atomimallimme perustuu kvanttimekaniikkaan. Voisimme toki hypätä heti kvanttimekaanisen atomimallin pariin, mutta sen taustoittamiseksi on käymme poikkeuksellisesti läpi atomimallien historiaa. Historian palauttaminen mieleen muistuttaa myös eräästä tärkeästä asiasta: Malli on aina nimensä mukainen. Mallit ovat vain tapa kuvata todellisuutta ("luontoa") ja ne ovat aina oman aikansa ihmisten tuotos. Mallit eivät koskaan ole koko totuus — eivät menneisyydessä eivätkä nytkään.

Kuva 1. Elektronimikroskooppi suolakiteestä, joka sisältää lantaani/strontiumia (sininen), mangaania (violetti) ja happea (punainen). (Magnunor 2017, CC BY-SA 4.0, Wikimedia Commons)

Olen atomimalleista jotakin jo kuullut, mutta ei kai pieni kertaus haittaa.

Ei niin, eli sukelletaan atomimallien lyhyeen historiaan. Niiden aikajanaa on hahmoteltu kuvaan 2. Käydäänpä ne läpi lyhyesti.

Kuva 2. Keskeisten atomimallien aikajana.

John Dalton oli ensimmäinen, joka vuonna 1803 esitti atomeille kokeisiin perustuvan tieteellisen mallin, jonka avulla voitiin kuvata atomien rakennetta ja ominaisuuksia. Hänen mallinsa mukaan:

• Materia koostuu pienistä, silmälle näkymättömistä atomeista
• Atomeita voi mallintaa palloilla
• Atomeita ei voida luoda eikä tuhota
• Eri atomeilla on erilaiset ominaisuudet
• Atomit voivat muodostaa erilaisia yhdisteitä

Kuva 3. Daltonin atomimalli.

John Thomsonin vuonna 1897 löytämät elektronit loivat perustan seuraavalle, kehittyneemmälle atomimallille. Thomsonin atomimallissa atomi näyttäytyy tasaisesti ja positiivisesti varattuna pallona, jonka sisään negatiiviset varaukset eli elektronit ovat asettuneet. Mallia kutsutaankin "rusinapullamalliksi", koska elektronien asettuminen taustavaraukseen tuo mieleen rusinat pullassa. Atomi on sähköisesti neutraali, eli siinä on yhtä paljon negatiivista ja positiivista varausta.

Kuva 4. Thomsonin rusinapullamalli.

Rutherfordin atomimalli (1911)

Ernest Rutherford teki kuuluisan kokeensa käyttämällä niin kutsuttuja $\alpha$-hiukkasia, jotka ovat heliumatomien positiivisia ytimiä, joita sinkoilee sinne tänne tietyistä radioaktiivisista atominytimistä. Hän havaitsi, että suurin osa $\alpha$-hiukkasista menee atomin lävitse ja ne siroavat voimakkaasti vain lähelle atomin keskiosaa joutuessaan, kuten kuvassa 5.

Kuva 5. Rutherfordin kokeet $\alpha$-hiukkasilla. 

Havainto oli ristiriidassa Thomsonin pullamössöidean kanssa, koska sen perusteella hiukkasten olisi tullut sirota lähes samoin riippumatta siitä, mihin kohtaan atomia hiukkanen osuu. Rutherford päättelikin kokeensa perusteella, että atomin massan tulee olla keskittynyt positiivisesti varattuun ytimeen, jota negatiivisesti varatut elektronit kiertelevät. Mallin mukaan

• Suurin osa atomista on tyhjää täynnä
• Suurin massa on keskittynyt atomin ytimeen
• Elektronit sijaitsevat ytimen ympärillä

Kuva 6. Rutherfordin atomimalli.

Klassinen fysiikka ei kyennyt selittämään Rutherfordin atomimallin stabiilisuutta. Pyörimisliikkeessä olevat elektronit ovat kiihtyvässä liikkeessä, joten niiden olisi klassisen fysiikan mukaan pitänyt lähettää ympäristöönsä sähkömagneettista säteilyä eli energiaa. Siksi elektronin kiertoratojen olisi tullut hiljalleen kutistua olemattomiin. 

Stabiilisuusongelma johti Niels Bohrin kehittämään seuraavan atomimallin vuonna 1913. Rakenteellisesti Bohrin atomimalli perustuu Rutherfordin atomimalliin, mutta eroaa käsitteellisesti siinä, että elektroneille sallitaan vain tietyt radat. Toisin sanoen mallissa elektronien energiat ovat kvantittuneet eli elektronit voivat esiintyä vain tietyillä energiatiloilla. Elektronit voivat liikkua radalta toiselle absorboimalla tai emittoimalla energiaa kvantteina. Bohrin mallin onkin siitä käyttökelpoinen, että sen avulla voidaan selittää esimerkiksi vedyn emissiospektri. Bohrin malli kuitenkin toimii huonosti raskaille atomeille. Lisäksi energioiden ja kiertoratojen kvantittuminen vain postuloidaan eli väitetään että "olkoon näin" — malli ei tarjoa kvantittumiselle varsinaista selitystä.

Kuva 7. Bohrin atomimalli ja elektroneiden kvantittuneet kiertoradat.

Bohrin mallissa esitetyt postulaatit saatiin selitettyä kvanttimekaanisella atomimallilla, jonka pääkehittäjänä voidaan pitää Erwin Schrödingeriä. Mallin mukaan atomilla on positiivisesti varautunut ydin. Elektronit eivät kuitenkaan kierrä tiettyjä ratoja klassisessa mielessä, vaan ne ovat ytimen ympärillä sijaitsevia aaltohiukkasia. Elektronin tilaa kuvataan aaltofunktiolla $\psi$, joka määräytyy Schrödingerin yhtälöstä $\hat{H}\psi=E\psi$. Aaltofunktion avulla voidaan kuvata sitä todennäköisyysjakaumaa, jolla elektronit ovat ytimen ympärille jakautuneet. 

Schrödingerin atomimallia täydensi vielä 1928 Paul Dirac, joka muotoili yhtälön, joka ottaa huomioon myös atomien relativistiset ilmiöt ja näin ollen kuvaa raskaita atomeita Schrödingerin yhtälöä paremmin. Diracin yhtälö on Schrödingerin yhtälöä mutkikkaampi, mutta käsitteellisesti se on samalla tavoin kvanttimekaaninen.

Kuva 8. Kvanttimekaaninen atomimalli aaltohiukkasineen. (Yksityiskohta kuvasta Geek3 2018, CC BY-SA 4.0, Wikimedia Commons)

Siinäpä atomimallit näin pikakelauksena. Kannattaa muuten kiinnittää huomiota aikajanaan: atomimallit kehittyivät parissa kymmenessä vuodessa pelkästä pallosta kvanttimekaaniseksi malliksi — melkoinen harppaus noin lyhyessä ajassa! Toisaalta, tämän jälkeen atomimallia ei ole tarvinnut paljoa kehittää, sillä kvanttimekaaninen malli on selittänyt uusimmatkin kokeet niin hyvin.

Jos historiapläjäys oli tässä, niin siirrytäänkö sitten tarkastelemaan tuota kvanttimekaanista atomimallia tarkemmin?

Siirrytään toki. Muistatko edelleen kvanttimekaniikan yleiset toimintaperiaatteet? Niitä katsottiin kysymyksen Onko kvanttimekaniikassa vastinetta Newtonin laeille? yhteydessä. Palautellaan mieleen etenkin kvanttimekaniikan koneisto (Kuva 9).

Kuva 9. Kvanttimekaniikan koneisto, jonka sisään, Hamiltonin operaattorin osaksi, sijoitetaan hiukkasen kokema potentiaalienergia $U(x,y,z)$ ja joka Schrödingerin yhtälön ratkaisuna tuottaa hiukkasen energiatilat $E_n$ ja aaltofunktiot $\psi_n$, missä $n$ on tiloja luetteloiva kvanttiluku tai lista erilaisista kvanttiluvuista.

Kuten klassisessa mekaniikassa kappaleen dynamiikkaa tutkitaan Newtonin toisen lain avulla $a=F/m$, samoin kvanttimekaniikassa koneisto on sama tilanteesta riippumatta. Oli kyseessä sitten laatikkopotentiaali, säännöllinen kiderakenne, atomi, kvanttipiste, atomin ydin, diodi, tunnelointimikroskooppi tai mikä tahansa tilanne, systeemin ominaisuudet saadaan selville syöttämällä koneistoon potentiaalienergia $U$ ja katsomalla millaisia energioita $E_n$ ja aaltofunktioita $\psi_n$ koneisto sylkäisee ulos.

Eli tehtävänämme on nyt syöttää tälle koneistolle elektronin kokema potentiaali atomissa. Koska elektroni on paljon atomin ydintä kevyempi, voimme ajatella ytimen olevan paikallaan pysyvä positiivisesti varattu pistemäinen hiukkanen. Tällöin ydin aiheuttaa elektronille sähköisestä vuorovaikutuksesta johtuvan potentiaalienergian 

$U(r)=-Ze^2/4\pi\varepsilon_0 r,$

missä $Z$ on atomin järjestysluku, joka vedylle on $1$ ja $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ on Pythagoraan lauseen avulla laskettu etäisyys origossa olevasta ytimestä. Potentiaalienergia on esitetty kuvassa 9.

Kuva 10. Elektronin kokema potentiaalienergia vetyatomissa. Vasemmalla potentiaali etäisyyden $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ funktiona, oikealla potentiaali visualisoituna $x-y$ -tasossa.

Potentiaali on eräänlainen kolmiulotteinen syvä kuoppa, joka pyrkii sitomaan elektronin ytimen läheisyyteen. Tämä potentiaali meidän nyt tulisi syöttää kvanttimekaaniselle koneistolle kuten kuvassa 10, ja koneisto sylkäisisi ulos atomin energiat ja orbitaalit.

Kuva 11. Elektronin kokeman potentiaalienergian syöttäminen kvanttimekaaniselle koneistolle.

Hetkinen - mitkä "orbitaalit"? 

Kvanttimekaniikassa tiloja kutsutaan eri asiayhteyksissä hieman eri termein, mutta kyseessä on kuitenkin sama asia. Eli

• tila tai energiatila
• aaltofunktio $\psi$
• energiatila
• orbitaali
• taso tai energiataso

ovat lähes synonyymejä samalle asialle. Rakkaalla lapsella on siis monta nimeä. Atomien tapauksessa puhutaan usein orbitaaleista, jotka vain ovat eri tyyppisiä aaltofunktioita — kaikki Schrödingerin yhtälön ratkaisuja, mutta eri kvanttiluvuilla. Palataan näihin hieman tuonnempana. Joskus samalla energialla eli energiatasolla voi myös olla useampi erillinen tila tai aaltofunktio, tällöin puhutaan degeneroituneista tiloista. Eli sama energia voi sisältää monta degeneroitunutta tilaa.

Seuraavaksi siis kuitenkin käytämme kvanttimekaniikan koneistoa atomin tilojen ratkaisemiseen?

Ei aivan vielä, sillä valitettavasti kuvan 10 mukainen koneiston käyttäminen on matemaattisesti hieman hankalaa. Jospa siis tekisimme fyysikkomaisen tempun ja kävisimme ensin läpi mallin, joka on helpommin ratkaistava, mutta joka kuitenkin sisältää olennaisesti samat asiat kuin oikea atomi? Fyysikot kun ovat hyviä tekemään tällaisia pyöreän lehmän kaltaisia oletuksia. 

Käydään siis läpi kvanttimekaniikan koneisto mallina toimivalle, kuution muotoiselle laatikkoatomille. Oletamme, että elektronit kokevat olevansa sähköisen $1/r$-muotoisen potentiaalin sijasta laatikon sisällä, jossa on kovat seinät. Kyseessä on siis kysymyksessä Onko kvanttimekaniikassa vastinetta Newtonin laeille? esiintyneen yksiulotteisen laatikkopotentiaalin kolmiulotteinen yleistys. Voimme ajatella muokkaavamme elektronien atomissa kokemaa potentiaalia Videon 1 tyyliin.

Video 1. $1/r$-potentiaali muokataan laatikkopotentiaaliksi.

Kuva 12.  $1/r$-potentiaalin muuttuminen laatikkopotentiaaliksi $x-y$ -tasossa. Elektroni on sidottu liikkumaan laatikon sisällä, koska sen ulkopuolella potentiaalienergia on äärettömän suuri.

Elektronit liikkuvat vapaasti laatikossa, jonka sisällä potentiaalienergia on nolla ja jonka ulkopuolella potentiaalienergia on äärettömän suuri. Potentiaalienergian nollakohta tässä operaatiossa kasvaa, mutta nollakohdan muuttaminenhan on luvallista, kunhan muistaa ettei vertaa eri tilanteiden energioita toisiinsa suoraan. Asetetaan kuution särmän pituudeksi vaikkapa 0,2 nm eli 2 Å sillä ajatuksella, että mallintaisimme vetyatomia.

Mutta eihän muokatussa potentiaalissa kuitenkaan ole kyseessä oikea vetyatomi?

Totta, ei käytännössä eikä numeroiden perusteella, mutta kvanttimekaniikan periaatteiden tasolla kylläkin: ratkaisemme Schrödingerin yhtälön laatikkopotentiaalissa ja saamme selville elektronin energiat ja aaltofunktiot. Käytännön eroja oikeaan atomiin toki löytyy, mutta käsitteellistä eroa ei ole. Jos saamme käsityksen kvanttimekaniikan koneistosta ja kvanttimekaanisesta rakenteesta kuutioatomin tapauksessa, opimme paljon olennaista myös oikean atomin kvanttimekaniikasta.

Syötetään siis laatikkopotentiaali kvanttimekaniikan koneistolle ja katsotaan mitä se sylkee ulos. Tutustutaan koneiston toimintaan yksityiskohtia myöden videolla 1.

Video 2. Hiukkasen energioiden ja aaltofunktioiden ratkaiseminen kolmiulotteisessa laatikossa.

Nyt kvanttimekaniikan koneisto sylkäisi ulos laatikkoatomin ominaisenergiat ja -tilat. Tutkitaan ensin ominaisenergioita. Kvanttiluvut $p$ $q$ ja $l$ (tai lyhyemmin $(pql)$), joista kukin on kokonaisluku $p,q,l=1,2,3\ldots$, kuvaavat siniaallon solmujen lukumääriä $x$, $y$ ja $z$-suunnissa. Solmujen lukumäärät määräävät energiatasot. Mitä enemmän solmuja, sitä suurempi energia. Perustilan energia $9,4$ eV $\cdot (1+1+1)=28,2$ eV saadaan kvanttiluvuilla (111) ja alimman viritystilan energia $9,4$ eV$\cdot(2^2+1+1)=56,4$ eV saadaan kvanttiluvuilla (211), (121) tai (112). Alin viritystila on siis kolminkertaisesti degeneroitunut; samaa energiaa vastaa kolme eri tilaa. Laatikkoatomin energiadiagrammi muutamalle alimmalle tilalle on piirretty kuvaan 13.

Kuva 13. Laatikkoatomin ($L=0,2$ nm) energiadiagrammi muutaman alimman tilan osalta.

Entäpä itse aaltofunktiot? Niiden kaavat sinifunktioineen ovat suoraviivaisia, mutta on mielenkiintoista tutkia niitä myös visuaalisesti, kuten kuvassa 14.

Kuutioatomin saisi viritettyä perustilalta jollekin kolmesta degeneroituneesta viritystilasta fotonilla, jonka energia on 56,4 eV-28,2 eV=28,2 eV (UV fotoni). Huomaa muuten, että vaikka potentiaalienergia on kaikilla tiloilla nolla, kineettinen energia on aina suurempi kuin nolla. 

Tässäpä oli laatikkoatomi. Ratkaisimme laatikkoatomin energiatasot (kuva 13) ja aaltofunktiot (kuvat 14) Schrödingerin yhtälöstä. Tiloja indeksoivat aaltofunktion solmujen lukumäärää (ja siten aaltofunktioiden mutkikkuutta) kuvaava kolmikko $(pql)$.

Ja vielä se keskeinen juttu: oikeat atomit ovat käsitteiden ja kvanttimekaniikan koneiston soveltamisen suhteen täysin samanlaisia. 

Eli Schrödingerin yhtälö ratkaistaan samoin, ainoastaan erimuotoiselle potentiaalienergialle?

Jep. Potentiaalissakin suurin ero on eri symmetria: kuutio ei ole pallosymmetrinen, kuten oikea atomi. Tämän vuoksi oikealle atomille kvanttiluvut ovat erilaiset. Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen pallosymmetriselle potentiaalille on matemaattisesti kuitenkin hieman pidempi lasku, joten jätetään laskujen yksityiskohdat myöhempiin fysiikan opintoihin. 

Syötetään siis elektronin potentiaali atomissa kvanttimekaaniselle koneistolle, väännetään koneiston kampea ja katsotaan mitä koneisto sylkäisee ulos. Tämä on tehty kuvassa 15 — koneiston toiminnan yksityiskohdat on nyt sensuroitu katseelta.

Kuva 15. Elektronin energioiden $E_n$ ja aaltofunktioiden $\psi_{nlm}$ ratkaiseminen kvanttimekaanisella koneistolla.

Kvanttimekaaninen koneisto sylkäisee ulos tilat, joita indeksoivat kvanttiluvut $n$, $l$ ja $m_l$. Kvanttiluvuilla on seuraavat ominaisuudet:

• Pääkvanttiluku n=1,2,3,... kertoo energiatason eli sen, millä niin kutsutulla pääkuorella elektroni on. Mitä suurempi $n$, sitä suurempi energia ja sitä kauempana ytimestä elektronin aaltofunktio keskimäärin on; tämä ominaisuus myös selittää termin "kuori" alkuperän. Energia ei riipu kvanttiluvuista $l$ ja $m_l$.
• Sivukvanttiluku l kuvaa pääkvanttiluvun alaisia alakuoria. Se kuvaa elektronin pyörimismäärää ja sen kautta orbitaalin muotoa; mitä suurempi $l$, sitä monimutkaisempi on orbitaalin suuntariippuvuus. Se voi saada $n$ eri arvoa $l=0,1,2,\ldots n-1$. Jos esimerkiksi $n=3$, niin sivukvanttiluku voi saada arvot $l=0, 1, 2$. Alakuorille käytetään $l$:stä määräytyviä nimiä siten, että sivukvanttiluvun arvoilla $0$, $1$, $2$, $3$ käytetään merkintöjä s, p, d, f. Esimerkiksi $l=2$ -tiloja kutsutaan "d-orbitaaleiksi". 
• Kvanttiluku $m_l$ kuvaa orbitaalin orientaatiota eli sitä miten kvanttiluvun $l$ määräämä orbitaali on koordinaatiston suhteen suuntautunut. Toisin sanoen, jos $l$ kertoo kuinka paljon elektroni "kiertää", niin $m_l$ kertoo miten elektroni "kiertää".  Erilaisia kiertämistapoja on $2\cdot l+1$ kappaletta. Esimerkiksi s-orbitaalit ($l=0$) ovat pallosymmetrisiä ja näyttävät joka suunnalta samanlaiselta; siten s-orbitaaleja on aina yksi. Kvanttilukukaan ei käsittelyssämme myöskään ole varsinaisesti luku, sillä käytämme kokonaisluvun sijasta orientaation symmetriaa kuvaavia merkintöjä: kolmea p-orbitaalia ($l=1$) merkitään symboleilla $p_x$, $p_y$, ja $p_z$ ja viittä d-orbitaalia ($l=2$) symboleilla $d_{x^2-y^2}$, $d_{xy}$, $d_{z^2}$, $d_{yz}$ ja $d_{xy}$.
• Sivuhuomautus: tässä kvanttiluku $m_l$ ei ole nk. magneettinen kvanttiluku, joka myös kuvaa orbitaalien symmetriaominaisuuksia, mutta hieman eri näkökulmasta ja aina nimenomaan $z$-akselin suhteen. Magneettisen kvanttiluvun sijasta orbitaalien symmetrioita kuvataan tässä ylläolevilla merkinnöillä, koska aaltofunktiot ovat reaaliset ja havainnollisemmat esittää.

Mistä nuo kvanttiluvut, niiden määrät ja sisäiset rajoitukset oikein tulevat?

Ne tulevat tuosta sensuroidusta kvanttimekaniikan koneiston käyttämisestä. Laatikkoatomille koneisto sylkäisi kolme kvanttilukua, jotka kaikki olivat yksinkertaisesti nollaa suurempia kokonaislukuja, jotka kuvasivat kupujen lukumääriä aaltofunktioissa. Atomipotentiaali nyt vain sattui antamaan hieman toisenlaiset kolme kvanttilukua ja niille täsmällisemmät sisäiset rajoitukset. Kvanttilukujen määrä ja yllä luetellut ominaisuudet tulevat potentiaalin muodosta. Tässä keskustelussa meidän on vain luotettava koneiston toimintaan ja otettava sen ulos sylkäisemät kvanttiluvut annettuina.

Kuten edellä tuli ilmi, tilojen energiat riippuvat ainoastaan pääkuoresta eli kvanttiluvusta $n$:

$E_{n}=-\frac{me^4}{2(4\pi \varepsilon_0)^2 \hbar^2} \frac{Z^2}{n^2}=-13,605 \text{eV} \cdot Z^2/n^2.$

Kullakin pääkuorella on kuitenkin kvanttilukujen sisäisten rajoitusten mukaisesti useampi tila. Pääkuoren degeneraatio on $N_n=\sum_{l=0}^{n-1} (2l+1)=n^2$ eli kullakin pääkuorella on $n^2$ erinäköistä orbitaalia. Atomin energiatasokaavio on esitetty kuvassa 16.

Kuva 16. Vetyatomin ($Z=1$) energiatasokaavio. Kukin pääkuori (tietty $n$) on $n^2$-kertaisesti degeneroitunut. Energia lähestyy nollaa, kun $n$ lähestyy ääretöntä. Energia nolla vastaa ionisaatiota, eli näin korkealla energialla elektroni ei ole enää sitoutunut atomin läheisyyteen, vaan se voi karata ytimestä mielivaltaisen kauas.

Tilojen $\psi_{nlm}$ aaltofunktioita on puolestaan esitelty eri näkökulmista kuvissa 16.

Nämä tilat tosiaan näyttävät samanlaisilta kuin laatikkoatomin tilat.

Juuri näin, eli huomaa tämä: vaikka emme käyneet läpi atomiorbitaalien ratkaisua atomille täsmällisesti, niin kvanttimekaniikan koneiston toiminta, kvanttilukujen rooli sekä orbitaalien rakentuminen ja fysikaalinen tulkinta ovat käsitteellisesti täsmälleen samat kuin laatikkoatomille. Jos ymmärsit laatikkoatomin kvanttimekaanisen mallin, ymmärrät käsitteellisesti myös oikean atomin kvanttimekaanisen mallin.

Atomissa ja laatikkoatomissa on erojakin, sillä laatikkoatomilla ensimmäisellä viritystilalla on kolme aaltofunktiota, atomilla neljä. Laatikkoatomin viritystilat ovat 28,2 eV perustilan yläpuolella; vetyatomissa ne ovat 10,2 eV perustilan yläpuolella. Silti molemmissa malleissa energian kasvaessa solmujen määrä ja aaltofunktioiden mutkikkuus kasvavat. Kuvassa 18 on esimerkkejä mutkikkuuden kasvamisesta $s$- ja $p$-orbitaalien lisäksi viidelle $d$- ja seitsemälle $f$-orbitaalille. Orbitaalien kuva saattavat olla hyvinkin tuttuja kemian opinnoista.

Kuva 18. $s$, $p$, $d$ ja $f$ atomiorbitaalien muotoja (haade 2006, CC BY-SA 3.0, Wikimedia Commons).

Näin siis vetyatomille, menevätkö muut atomit samalla tavoin?

Muut atomit menevät käsitteellisesti samoin, vain monimutkaisuus kasvaa. Raskaammille atomeille mukaan tulee ilmiöt, jotka liittyvät monen elektronin vuorovaikutuksiin ja siihen miten elektronit miehittävät eri tiloja. Olemme myös jättäneet käsittelemättä yhden monen elektronin ongelmaan liittyvän elektronin sisäisen ominaisuuden, spinin. Mutta lisäksi jo pelkästään spinin ja siihen liittyvän Paulin kieltosäännön avulla voisimme selittää koko kemian jaksollisen järjestelmän — puhtaasti perusperiaatteesta eli Schrödingerin yhtälöstä lähtien! 

Eli Schrödingerin yhtälön avulla voi selittää koko kemian ja materiaalien ominaisuudet?

Periaatteessa, vaikka jokaisella asialla on mutta. Edellä käymämme malli on myöskin vain malli ja Schrödingerin yhtälöönkin liittyy rajoituksia. Esimerkiksi raskailla atomeilla sisäkuorten elektronien kineettiset energiat ovat niin suuria, että huomioon täytyy ottaa elektronien vuorovaikutusten lisäksi myös suhteellisuusteoria. Esimerkiksi $1s$-kuoren energia $-13,605 \text{eV} \cdot Z^2$ kasvaa huimasti järjestysluvun $Z$ mukana. Kullalle tämän alimman kuoren elektronien nopeudet ovat jopa yli puolet valonnopeudesta. Kullan kellertävää väriä ei voikaan selittää ilman suhteellisuusteoriaa. Suhteellisuusteoreettiset ilmiöt näkyvät siis aivan kirjaimellisesti, ehkä jopa omassa sormessasi. Lisäksi jaksollisessa järjestelmässä kullan vierestä löytyy elohopea, jolle suhteellisuusteoreettiset ilmiöt antavat muita metalleja alhaisemman sulamispisteen. Niinkin arkipäiväinen asia kuin elohopealämpömittari perustuu suhteellisuusteoreettisiin ilmiöihin! 

Kuva 19. Vasemmalla antiikkinen kultakolikko, oikealla elohopeaa sisältävä kuumemittari. 

Tällaiset raskaat atomit onkin parempi mallintaa Schrödingerin yhtälön sijasta Diracin yhtälön avulla. 

Millainen yhtälö se on?

No tuota, hmm… olemme käyneet atomin kvanttimekaanista mallia läpi jo melko ahkerasti. Entäpä jos jättäisimme jotakin opiskeltavaa myös yliopisto-opintoihin..?

Yhteenveto:

•  Ajan kuluessa atomimallit kehittyivät nykyiseksi kvanttimekaaniseksi atomimalliksi.
•  Atomin ytimen läheisyydessä olevan elektronin energiatilat ja aaltofunktiot saadaan ratkaisemalla Schrödingerin yhtälö sähköisen vuorovaikutuksen potentiaalienergialla.
•  Degeneroituneiksi tiloiksi kutsutaan tiloja tai aaltofunktioita, joilla on sama energia.
•  Vetyatomin energiat ovat $E_n=-13,605 \text{ eV}/n^2$, missä $n$ on pääkvanttiluku.
•  Muut kvanttiluvut liittyvät pyörimismäärään ($l$) ja tapaan pyöriä ($m_l$). 
•  Elektronin aaltofunktiot $\psi_{nlm_l}$ tulevat mutkikkaammiksi energian kasvaessa.