Kvanttimekaniikasta puhuttaessa kiinnitetään usein huomiota arkikokemuksia haastaviin ilmiöihin. Mutta on mielenkiintoista myös pohtia, miten ilmiöt kvanttimekaniikasta varsinaisesti syntyvät. Toisin sanoen, mitkä ovat kvanttimekaniikan sisäiset säännöt? Miten kvanttimekaniikka varsinaisesti "toimii"? Miten kvanttimekaniikassa hiukkasen tilaa kuvataan ylipäätään? 

Muistellaan kuitenkin heti alkuun, miten klassinen mekaniikka toimii ja miten klassinen mekaniikka kuvaa kappaleen tilaa. Tarkastellaan klassista, pistemäistä kappaletta, jonka massa on $m$. Kappaleen tilaa hetkellä $t$ voidaan kuvata sanomalla, että "kappale on pisteessä $\vec{r}$ ja sen nopeus on $\vec{v}$". Tämä kuvaus kuvaa kappaletta täydellisesti; kappaleesta ei voi tietää mitään enempää. 

Kun kappale sitten vuorovaikuttaa ympäristön kanssa, esimerkiksi gravitaatio- tai sähkömagneettisen vuorovaikutuksen kautta, sen (liike)tila muuttuu klassisen mekaniikan lakien eli Newtonin lakien mukaisesti. Jos kyseessä on kiinteä kappale, jolla on pistemäisyyden lisäksi myös koko ja muoto, niin kappaletta voidaan käsitellä pistemäisten kappale-alkioiden kokoelmana.

Kuva 1. Klassinen pistemäinen hiukkanen koordinaatistossa: paikkavektori on $\vec{r}$ ja nopeusvektori $\vec{v}$.

Siinäpä hyvin tiukassa pähkinänkuoressa se miten klassinen mekaniikka "toimii".

Eli nyt katsotaan miten kvanttimekaniikka toimii, analogisesti edellisen suhteen?

Jokseenkin näin. Ja luvassa on taatusti jotakin uutta, sillä olemmehan jo huomanneet, että kvanttimekaniikka ei toimi kuten klassinen mekaniikka: energia ei voi olla mitä vain (kysymys Mitä kvantti oikein tarkoittaa?), hiukkanen voi olla samanaikaisesti monessa paikassa (kysymys Miten hiukkanen voi olla samaan aikaan kahdessa eri paikassa?), ja hiukkasen paikkaa ei ole edes täsmällisesti määritettävissä (kysymys Voiko hiukkasen paikan mitata tarkasti?). Miten siis kvanttimekaniikassa kuvataan kappaleen tilaa? Mitä sääntöjä kvanttimekaniikkaan liittyy? Mikä on kvanttimekaniikan vastine "Newtonin laeille" eli mikä määrää miten kappale "on", liikkuu ja miten liiketila muuttuu?

Emme toki pysty vastaamaan kysymykseen täsmällisesti ja jotkut kvanttimekaniikan säännöt tulee hyväksyä annettuna sillä ajatuksella, että ne on mahdollista ymmärtää syvällisemmin myöhemmissä fysiikan opinnoissa. Toivottavasti kuitenkin keskustelu tarjoaisi joitakin oivalluksia. Kannattaa pitää mieli avoimena!

Lähdetäänkö siis liikkeelle?

Lähdetään vaan! 

Tarkastellaan edelleen hiukkasta, jonka massa on $m$, kuten klassisen mekaniikan keskustelussa. Siirrytään samalla puhumaan "hiukkasista" ennemmin kuin "kappaleista", koska käytännössä kvanttimekaniikassa tarkastelemme elektroneja, protoneita, neutroneita, positroneja, myoneita ja muita mikroskooppisia hiukkasia. "Kappale" on kvanttimekaniikasta puhuttaessa hieman liian massiivisen kuuloinen ilmaisu. Mutta vaikka hiukkaset ovat tässä yhteydessä vielä aidommin pistemäisiä kuin klassisen mekaniikan kappaleet, kvanttimekaniikassa hiukkasen tilaa ei — yllättävää kyllä — voida esittää kuten edellä:

Kuva 2. Kvanttimekaniikassa hiukkasten tilaa ei voi esittää pistemäisenä paikkana ja tiettynä nopeutena.

Sen sijaan hiukkasen tilaa kuvataan aaltofunktiolla, jota merkitään usein kreikkalaisella kirjaimella $\psi$ (lausutaan psii). Törmäsimme aaltofunktioon lyhyesti jo kysymyksessä Miten hiukkanen voi olla samaan aikaan kahdessa eri paikassa? Aaltofunktion merkintä itsessään on mielivaltainen, joten jokin muukin kirjain tai symboli kävisi, vaikkapa kirjain Ö. Noudatetaan merkinnässä kuitenkin tätä vakiintunutta tapaa. Lisäksi selkeästi erottuva merkintä myös auttaa sisäistämään sen, että kyse on aidosti uudesta käsitteestä. 

Tutkitaan nyt, millainen olio aaltofunktio oikein on, mikä onnistunee parhaiten esimerkkien kautta. Siirrytään sitä varten yksiulotteiseen maailmaan: tarkastellaan $m$-massaista hiukkasta, joka liikkuu vain yhdessä suunnassa, jota kuvaa muuttuja $x$. Olkoon alla hiukkasen aaltofunktio, nollan ja $L$:n välisellä matkalla:

Kuva 3. Hiukkasen aaltofunktio $\psi(x)$ paikan $x$:n funktiona yksiulotteisessa maailmassa. Vaakasuora akseli esittää hiukkasen paikkaa, pystysuora akseli hiukkasen todennäköisyysamplitudia.

Aaltofunktio $\psi(x)$ kuvaa hiukkasen tilaa täydellisesti ja vastaa klassisen fysiikan tilan kuvausta (paikkavektoria $\vec{r}$ ja nopeutta $\vec{v}$). Mutta miten aaltofunktio sen kertoo? Tarkastellaan kapeaa $dx$:n mittaista pätkää pisteen $x$ lähistöllä. Tällöin aaltofunktion neliö (eli toinen potenssi) kerrottuna pätkän pituudella eli $|\psi(x)|^2 \cdot dx$ kertoo sen todennäköisyyden, jolla hiukkanen löydettäisiin, mikäli yrittäisimme mitata hiukkasen paikkaa $x$:n lähettyviltä $dx$:n pituiselta alueelta (syvennymme kysymykseen toisesta potenssista tuota pikaa). Aaltofunktio $\psi(x)$ siis kuvaa hiukkasen paikan todennäköisyysjakaumaa.

Kuva 4. Kuvan varjostetun alueen pinta-ala on $|\psi(x)|^2 \Delta x$. Pinta-ala kuvaa todennäköisyyttä löytää hiukkanen $\Delta x$:n pituiselta alueelta pisteen $x$ ympäriltä.

Hiukkanen siis on jossakin ja aaltofunktion avulla kerromme, missä se suunnilleen on, eli aaltofunktio esittää paikan jakauman. Mutta tällöinhän aaltofunktio nimenomaan ei kerro hiukkasen paikkaa tarkasti — eikä se tällöin voi kuvata hiukkasen tilaa täydellisesti. 

Tästä ei ole kyse — kyse ei ole tietämättömyydestä. Arkinen kielenkäyttökin tässä johtaa hieman harhaan, sillä puhe "hiukkasen olemisesta jossakin" sisältää taustaoletuksen, että hiukkasen tulisi olla tietyssä pisteessä. Tämä on ymmärrettävää, sillä meidän on vaikea päästä irti arkikokemuksistamme ja klassisen fysiikan käsitteistä. Hiukkasen tilan kuvaaminen aaltofunktiolla on hyvin uudenlainen käsite. Kyse ei ole epätietoisuudesta tai siihen liittyvästä perinteisestä todennäköisyydestä. Hiukkanen oikeasti on kaikkialla samanaikaisesti, aaltofunktion kuvaamalla tavalla tai tyylillä. Toisin sanoen, hiukkanen ei ole pistemäisenä "jossakin" aaltofunktion kuvaamalla alueella, vaan hiukkanen aidosti ON tuo aalto. 

Puhumme siis hiukkasten aaltoluonteesta, kuten aiemmissa kysymyksissä. Eli samoin kuin lähetät jännitettyyn naruun aaltopulssin, et voi sanoa aaltopulssin olevan tietyssä pisteessä, kuten kysymyksessä Voiko hiukkasen paikan mitata tarkasti? Aaltopulssin luonteeseen kuuluu olla jakautunut jollekin pituudelle?

Juuri näin. Aaltofunktiossa on kyse hiukkasen aaltoluonteen kuvaamisesta pelkkää de Broglien aallonpituutta eli yhtä suuretta täsmällisemmin. Hiukkanen ei ole pistemäisenä tietyssä pisteessä, vaan kvanttimekaniikassa kaikki hiukkaset ovat pohjimmiltaan aaltomaisia — tai aaltofunktiomaisia.

Samaan hengenvetoon kuitenkin jälleen sananen paikan mittausprosessista itsestään. Mittaus kvanttimekaniikassa on nimittäin paljon radikaalimpi tapahtuma kuin mihin klassisessa fysiikassa olemme tottuneet. Mittausta ei voi tehdä vaikuttamatta mitattavaan systeemiin suoraan. Edellisessä esimerkissä voimme ajatella, että mittarimme on pisteessä $x$ oleva $dx$ mittainen ilmaisin, joka ääntää "piip", kun se havaitsee hiukkasen. Mittauksen jälkeen aaltofunktio romahtaa siten, hiukkanen on vain mittauspisteessä, ei enää lainkaan muualla. Aivan kuin kaksoisrakokokeessa elektronien aaltofunktio romahti, kun elektronin paikkaa rakojen kohdalla yritettiin mitata. Vaikka sana "romahtaa" onkin aika dramaattinen, sillä vain kuvataan hiukkasen tilan muutosta, tässä yhteydessä eräänlaista sijainnin tarkentumista. Aaltofunktiolla kuvaamme hiukkasen tilaa ennen mittauksia ja se on ainoastaan matemaattinen työkalu. Meidän on siis muistettava, että aaltofunktio ei ole todellisuus, se on vain yrityksemme kuvata ja mallintaa todellisuutta. 

Menipä filosofiseksi... Mutta tämä lienee selvää: hiukkasesta ei voi sanoa mitään, ellei sitä jollakin tavoin mitata. Mittausta puolestaan ei voi tehdä ilman vuorovaikutusta hiukkasen kanssa, sillä kappalehan ei voi kertoa olemassaolostaan mitenkään muuten kuin jonkin vuorovaikutuksen kautta. Vuorovaikutusta tarvitaan mittauksiin myös klassisessa mekaniikassa, mutta siellä mittaamisesta ei tule ongelmia, koska mittausten aiheuttamat vuorovaikutukset ovat niin heikkoja: voimme mitata auton nopeuden hyvin tarkasti laserilla, sillä auton kanssa vuorovaikuttavat fotonit eivät auton nopeutta hetkauta. Mikromaailmassa tilanne on toinen: elektronin nopeuden mittaaminen fotonilla voi heittää elektronin täysin pois radaltaan.

Mutta palataan nyt siihen, mitä aaltofunktion todennäköisyystulkinnasta seuraa. Koska tiedämme varmasti, että hiukkanen on jossakin, todennäköisyys hiukkasen löytämiselle jostakin avaruudesta on oltava täsmälleen yksi, eli 100%. Tämä tarkoittaa, että yhdessä ulottuvuudessa liikkuvalle hiukkaselle alla olevan kuvaajan pinta-alan on oltava täsmälleen yksi:

Kuva 5. Yhdessä ulottuvuudessa liikkuvan hiukkasen on löydyttävä jostakin, joten todennäköisyyksien summan löytää hiukkanen kaikkialta täytyy olla tasan yksi. 

Kaikkien aaltofunktioiden täytyy toteuttaa tämä ehto, jota kutsutaan aaltofunktion normitukseksi. Aaltofunktioiden muodot vaihtelevat, mutta niiden neliöiden pinta-alojen tulee aina olla täsmälleen yksi. Ei enempää, ei vähempää.

Muuten — miksi tuo toiseen potenssi, miksei aaltofunktio ole suoraan todennäköisyys?

Odotinkin, milloin tämä kysymys tupsahtaa. Se on kinkkisempi kysymys, jonka keskustelussa täytyy tyytyä käsien heilutteluun. Mutta tosiaan: aaltofunktio $\psi(x)$ ei itsessään kuvaa todennäköisyyttä, vaan niin sanottua todennäköisyysamplitudia. Havainnollistetaan tilannetta alla olevalla animaatiolla, jossa kaksi aaltopulssia lähestyvät toisiaan.

Video 1. Kahden symmetrisen aaltopulssin törmääminen.

Aalloilla on värähtelyn tasapainoaseman suhteen sekä positiivisia että negatiivisia poikkeamia. Mikään asia ei värähtele toispuolisesti vain positiiviseen suuntaan; tällöin kyse ei olisi värähtelystä. Kun aallot animaatiossa yllä törmäävät ja ovat päällekkäin, ne interferoivat destruktiivisesti: aallon poikkeama katoaa hetkellisesti. Jos kuitenkin kuvaisimme aaltopulsseja pelkästään eräänlaisella "aallon löytymisen todennäköisyystiheydellä", eli edellisen poikkeaman neliöllä, niin tilanne näyttäisi kuten animaatiossa 2.

Video 2. Kahden symmetrisen aaltopulssin törmääminen, kun aaltopulsseja kuvataan positiivisella poikkeamalla.

Koska todennäköisyyden tulee aina olla ei-negatiivinen, aalloilla olisi vain "positiivisia" poikkeamia. Siten kun pulssit törmäävät ja ovat täsmälleen päällekkäin, "todennäköisyyskuvaajat" interferoisivat aina konstruktiivisesti, eri tavoin kuin todellisuudessa. Aaltoja ei siksi voi aidosti kuvata todennäköisyyskuvaajilla; tällöin kyse ei ole aallosta. Samasta syystä hiukkasten aaltofunktio kuvaa todennäköisyysamplitudia eikä suoraan todennäköisyyttä. Koska hiukkaset käyttäytyvät aaltojen tavoin, niitä täytyy myös kuvata aaltojen tavoin. Mutta aaltofunktio saadaan siis kuitenkin muutettua hiukkasen paikan todennäköisyysjakaumaksi helposti: vain laskemalla aaltofunktion toinen potenssi.

Mistä aaltofunktio sitten tupsahtaa, mikä sen varsinaisesti määrää? Yllä aaltofunktio vain piirrettiin ja sanottiin, että "tässäpä on hiukkasen aaltofunktio".

Hyvä, jatketaan siis eteenpäin. Nyt kuitenkin tiedämme jo jotakin siitä mikä aaltofunktio varsinaisesti on ja mitä se kuvaa. Kerrataan vielä: klassisessa mekaniikassa pistemäisen kappaleen tilaa kuvataan paikka- ja nopeusvektoreilla, kvanttimekaniikassa hiukkasen tilaa kuvataan aaltofunktioilla. Lähdetään nyt tutkimaan, että mistä aaltofunktio eli hiukkasen tila määräytyy. Löydämmekö Newtonin laeille kvanttimekaanisen vastineen?

Pohjustetaan keskustelua aaltofunktion taustoista eräänlaisella lelumallilla. Ajatellaan konkreettisuuden vuoksi, että hiukkasen aaltofunktion $\psi(x)$ kuvaajana toimii elastinen, helposti venyvä lanka, jota pidetään kiinni päistään:

Kuva 6. Hiukkasen aaltofunktion lelumalli elastisena lankana.

Edellä oleva aaltofunktio voidaan muodostaa asettamalla langan päät nollaan origon ja $L$: n kohdilla nollaan, kuten kuvassa 7. Samalla lanka venyy siten, että aaltofunktion neliön ja $x$-akselin virittämän kuvion pinta-ala on yksi, kuten kuvassa 5.

Kuva 7. Elastisen langan avulla muodostettu hiukkasen aaltofunktion kuvaaja.

Seuraavaksi keskeinen asia: aaltofunktion muoto määräytyy hiukkasen energioiden perusteella. Emme ole aiemmin keskustelleet paljoa energiasta, mutta sen putkahtaminen keskusteluun ei pitäisi yllättää. Onhan käytännössä kaikessa fysiikassa kyse vain muutoksista ja kilpailusta eri energiamuotojen välillä.

Lelumallimme elastinen lanka vastustaa taivutusta, joten mutkat aaltofunktiossa kasvattavat energiaa. Aaltofunktion mutkikkuus liittyy hiukkasen liike-energiaan ja on verrannollinen aaltofunktion toiseen derivaattaan. Tarkemmin sanottuna, suuntaan $x$ liittyvä liike-energiatiheys on $-\frac{\hbar^2}{2m} D_x^2\psi(x)$, missä $m$ on kappaleen massa ja $\hbar$ redusoitu Planckin vakio ($\hbar=h/2\pi$). (Käytämme merkintää $D_x f(x)= f'(x)=df(x)/dx$ funktion $f$ derivaatalle $x$:n suhteen ja $D^2_x f(x)= f''(x)=d^2f(x)/dx^2$ vastaavalle toiselle derivaatalle eli derivaattafunktion derivaatalle.)

Kuva 8. Mitä mutkikkaampi aaltofunktio, sitä suurempi liike-energia.

Miksi juuri mutkaisuus liittyy liike-energiaan?

Voimme ajatella, että kun todennäköisyysamplitudin toinen derivaatta on suuri, niin hiukkasen paikan todennäköisyys vaihtelee rajusti. Paikan vaihtelun puolestaan voi helposti mieltää liittyvän paikan muutoksiin, eli nopeuteen ja siten liike-energiaan. Voimme pohtia myös analogiaa aaltopulssiin hyppynarussa: pitkäaaltoisen pulssin (loivat mutkat) lähettäminen vaatii vähän energiaa, mutta lyhytaaltoisen pulssin (jyrkät mutkat) lähettäminen vaatii paljon energiaa.

Varoituksena kuitenkin: analogiat ovat hyödyllisiä asiayhteyksien muodostamiseen, mutta niitä ei kvanttimekaniikan selittämisessä tule viedä liian pitkälle.

Liike-energian lisäksi hiukkasella voi olla myös paikasta riippuvaa potentiaalienergia, $U(x)$. Potentiaalienergia voisi näyttää vaikka kuopalta kuten alla olevassa kuvassa.

Kuva 9. Esimerkki hiukkasen potentiaalienergiafunktiosta, potentiaalikuopasta. 

Kuopan pohjalla ollessaan hiukkasella on vähemmän potentiaalienergiaa, kuopan reunalla ollessaan enemmän potentiaalienergiaa. Voimme ajatella potentiaalienergiaa vaikka pinnanmuotoina painovoimakentässä liikkuvalle hiukkaselle. Tällöin potentiaalienergian ja aaltofunktion tulo $U(x)\cdot \psi(x)$ liittyy hiukkasen potentiaalienergiatiheyteen tilassa $\psi(x)$ ja pisteessä $x$. Tämän pitäisi olla uskottavaa, koska $\psi(x)$ kuvaa todennäköisyysamplitudia hiukkasen löytymiselle paikasta $x$.

Hiukkasen kokonaisenergia on liike- ja potentiaalienergioiden summa, $E_{tot}=E_{kin}+E_{pot}$. Aaltofunktion muoto määräytyy jokseenkin siten, että hiukkasen kokonaisenergia minimoituu. Tarkastellaan hiukkasta kuvan 9 potentiaalienergiakuopassa.

• Yhtäältä hiukkasen potentiaalienergia minimoituisi, kun hiukkanen olisi kuopan pohjalla. Tällöin todennäköisyysamplitudi $\psi(x)$ piikittyisi kuopan keskelle (kuvassa 10 vasemmalla). Tähän tilaan liittyisi kuitenkin iso kineettinen energia, sillä $\psi(x)$:ssä olisi liian jyrkkiä mutkia. 
• Toisaalta hiukkasen kineettinen energia minimoituisi, kun aaltofunktio olisi mahdollisimman sileä ja mutkaton (kuvassa 10 oikealla). Tähän tilaan liittyisi kuitenkin iso potentiaalienergia, sillä hiukkasen löytyisi todennäköisesti myös kuopan ulkopuolelta. 
• Pienin kokonaisenergia saadaan kompromissilla: hiukkanen on enimmäkseen kuopan sisällä, kuitenkin hieman levittäytyneenä kuopan pohjalta sen reunoja kohden.

Kuva 10. Kolme aaltofunktiokandidaattia (punaiset viivat $\psi(x)$) hiukkaselle, joka liikkuu kuvan 9 potentiaalienergiakuopassa (siniset himmeät viivat).

Meidän ei muuten tässä kuitenkaan tarvitse pohtia, miksi potentiaalienergia on tietyn muotoinen. Potentiaalienergian aiheuttaa jokin hiukkaselle ulkoinen asia, joten sen voi ottaa "annettuna". Samalla tavoin kun voit ottaa annettuna Newtonin gravitaatiolain painovoimalle tai mallin kitkavoimille. Jos potentaalienergia olisi esimerkiksi kuten kuvassa 11, niin siitä seuraava aaltofunktio voisi olla suunnilleen kuten kuvassa 12.

Kuva 11. Mielivaltainen potentiaalifunktio.

Kuva 12. Mahdollinen kokonaisenergian minimoiva aaltofunktio potentiaalienergialle kuvassa 11.

Aaltofunktio olisi mahdollisimman sileä, mutta kuitenkin enemmän painottunut matalan potentiaalienergian alueille. Joka tapauksessa, kun tiedämme miltä potentiaalienergia $U(x)$ näyttää, voimme siitä ratkaista aaltofunktion.

Miten potentiaalienergiasta $U(x)$ seuraava aaltofunktio sitten ratkaistaan? Tuskin vain viivoja piirtelemällä.

Matemaattisesti potentiaali- ja liike-energian kilpailu saadaan ratkaistua Schrödingerin yhtälöstä

$-\frac{\hbar^2}{2m}D_x^2\psi(x)+U(x)\psi(x)=E\psi(x).$

Yhtälö on niin kutsuttu differentiaaliyhtälö. Se sisältää sekä funktion $\psi(x)$ että funktion toisen derivaatan $D_x^2\psi(x)$. Funktion $\psi$ ratkaiseminen yhtälöstä vaatii usein erityistemppuja, sillä koska emme tiedä funktiota $\psi$, emme tietenkään tiedä myöskään sen toista derivaattaa! Yhtälö on kuitenkin ratkaistavissa: kun tiedämme potentiaalienergian $U(x)$, saamme yhtälöstä ratkaistua samalla sekä aaltofunktion $\psi(x)$ että hiukkasen kokonaisenergian $E$.

Schrödingerin yhtälön voi ilmaista elegantimmin muodossa

$\hat{H}\psi(x)=E\psi(x)$,

missä $\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m} D_x^2+U(x)$ on niin kutsuttu Hamiltonin operaattori eli energiaoperaattori. Väkänen $\hat{H}$:n yläpuolella merkitsee operaattoria, eli lauseketta joka operoi edessään olevaa lauseketta: esimerkiksi "$7\times$" on operaattori, sillä se kertoo edellään olevan funktion $f(x)$ seitsemällä ja "$D_x$" on operaattori, sillä se operoi edellään olevaa funktiota sitä derivoimalla. Operaattorissa ei siis ole kyse sen ihmeellisemmästä asiasta. Kun Hamiltonin operaattori operoi aaltofunktioon, saadaan selville aaltofunktion kineettinen energia ja potentiaalienergia. Kansankielisesti Schrödingerin yhtälön filosofian voisi ilmaista näin: 

Jos operaatio $\hat{H}\Psi(x)$ antaisi operoinnin tulokseksi uuden funktion, niin $\psi(x)$ ei kuvaisi energian ominaistilaa eikä $\psi(x)$:n energiasta puhuminen olisi edes mielekästä.

Nyt menevät jutut kuitenkin vähän abstraktiksi...

Ehkäpä niin, emmekä tämän pidemmälle etenekään, sillä tältä pohjalta voimmekin vetää yhteen vastauksen alkuperäiseen kysymykseen: kvanttimekaniikka toimii siten, että potentiaalissa $U(x)$ liikkuvan hiukkasen tilaa kuvaa aaltofunktio $\psi(x)$, joka määräytyy Schrödingerin yhtälöstä. Voilà! Siinäpä kvanttimekaniikka pähkinänkuoressa. Yhtälön ratkaisut pitävät huolen kokonaisenergian minimoinnista, paitsi alimman energian tilalle eli perustilalle, niin myös viritystiloille, joista puhumme tuonnempana.  Yhtälö on eräänlainen vastine Newtonin laeille klassisessa mekaniikassa. Itse asiassa — ehkä hieman kärjistäen — puolet maailman fyysikoista saa leipänsä Schrödingerin yhtälöä ratkomalla! Laitetaanpa yhtälö sen kunniaksi kuvaan 13 vielä oikein raameihin.

Kuva 13. Schrödingerin yhtälö seinälle ripustettuna.

Siinäkö kaikki?

No, liittyyhän matemaattiseen käsittelyyn kaikenlaista muutakin, mutta tässä on kyllä iso osa kvanttimekaniikan käsitteellisestä perustasta, jolla pötkii pitkälle ihan yliopisto-opinnoissakin. Yksi esimerkki täydennyksestä on toki se, että avaruuden ulottuvuuksia on kolme, jolloin $x$:n lisäksi aaltofunktio riippuu myös $y$:stä ja $z$:sta. Toinen esimerkki täsmennyksestä on, että edellä kyseessä on tarkemmin sanottuna Schrödingerin yhtälön ajasta riippumaton muoto. Schrödingerin täydellinen, ajasta riippuva yhtälö on tarkemmin

$i\hbar D_t \psi(x,t)=\hat{H}\psi(x,t)$

joka antaa aaltofunktion, joka riippuu paikan $x$ lisäksi ajasta $t$. Yhtälön mukaan aaltofunktion aikakehityksen siis määrää energiaoperaattori. Tässä kuvaan tulevat kuitenkin myös kompleksiluvut imaginaarilukuineen (yhtälössä oleva kirjain $i$) ja muita outouksia, niin on parempi että emme siihen paneudu sen tarkemmin. 

Tällä tavalla kvanttimekaniikka kuitenkin lyhyesti kuvailtuna "toimii": kun tiedetään hiukkasen massa $m$ ja ulkoinen potentiaali $U(x)$, niin Schrödingerin yhtälön avulla saamme tietää hiukkasesta kaiken tarvittavan!

Jospa ei enää mentäisi syvempiin vesiin. Sen sijaan, voisiko keskusteluun saada hieman lisää konkretiaa? Tuo Schrödingerin yhtälökin on vielä hieman epämääräinen. Eli jos meillä on hiukkanen vaikkapa...

Hiukkanen vaikkapa… yksiulotteisessa laatikossa eli kuopassa — konkretisoidaan tilannetta siis esimerkillä. Potentiaalienergian kannalta "laatikossa oleminen" tarkoittaa, että potentiaalienergia on nolla laatikon sisällä ja ääretön laatikon ulkopuolella:

Kuva 14. Yksiulotteinen laatikko. Potentiaalienergia on nolla laatikon sisällä (valkoinen alue), ääretön sen ulkopuolella (siniset alueet).

Lyhyesti sanottuna, hiukkanen voi olla vain laatikon sisällä, ei muualla. Elastisen langan analogiaa käyttämällä hiukkasen aaltofunktio $\psi_0$ voisi näyttää kuten kuvassa 15.

Kuva 15. Hiukkasen aaltofunktio $\psi_0(x)$ yksiulotteisen laatikon sisällä.

Laatikon ulkopuolella $\psi(x)=0$ kaikkialla, koska muuten hiukkanen olisi laatikon ulkopuolella nollasta poikkeavalla todennäköisyydellä ja kokonaisenergia olisi potentiaalienergian vuoksi ääretön. Aaltofunktion on oltava $\psi=0$ myös laatikon sisäreunoilla, koska muuten reunoilla aaltofunktio olisi epäjatkuva, mikä ei ole sallittua. 

Tässä vaiheessa tulee yksi uusi asia, jota emme yllä käsitelleet, eli viritystilat. Olemme puhuneet hiukkasen aaltofunktiosta, vaikka mahdollisia tiloja eli Shcrödingerin yhtälön toteuttavia aaltofunktioita voi toki olla useampia. Schrödingerin yhtälön nimittäin voi tilan $\psi_0$ lisäksi toteuttaa myös aaltofunktiot $\psi_1$ ja $\psi_2$. Hiukkasen alimman energian tilaa $\psi_0$ kutsutaan perustilaksi ja se on tiloista kaikkein tärkein: yleensä systeemien energiat pyrkivät minimoitumaan, ja ilman ulkoisia vaikutteita hiukkaset päätyvät usein perustilalle. Kuvassa 16 piirretyt aaltofunktiot esittävät hiukkasen mahdollisia viritystiloja. Myös viritystiloissa energia minimoituu, mutta minimoituminen tapahtuu rajoituksilla, joihin emme tässä syvenny sen tarkemmin. 

Kuva 16. Yksiulotteisessa laatikossa olevan hiukkasen viritystilat $\psi_1$ ja $\psi_2$.

Tilan indeksiä $0$, $1$, $2$ kutsutaan kvanttiluvuksi. Kvanttiluvut kuvaavat tilaa jollakin tavalla ja yleisessä tapauksessa kvanttilukuja voi olla myös useampi. Tässä esimerkissä kvanttiluku kuvaa aaltofunktiossa olevien solmujen lukumäärää. (Kvanttiluku voisi kuvata myös kupujen lukumäärää, jolloin tilojen kvanttiluvut olisivat $1, 2, 3, \ldots$.) Solmuja eli viritystiloja voi tässä esimerkissä olla äärettömän monta: $\psi_0$, $\psi_1$, $\psi_2$, $\psi_3$,…$\psi_n$,.... Kolmen alimman tilan todennäköisyysjakaumat eli aaltofunktioiden neliöiden kuvaajia on esitetty kuvassa 17.

Kuva 17. Yksiulotteisessa laatikossa olevan kolmen alimman tilan hiukkastiheyden todennäköisyysjakaumat.

Laatikossa olevan hiukkasen todennäköisyysjakaumat eivät ole tasaisia. Toisin sanoen, vaikka laatikossa potentiaali on tasainen, hiukkanen voi löytyä todennäköisemmin yhtäältä kuin toisaalta. Tilassa $\psi_1$ todennäköisyys löytää hiukkanen täsmälleen laatikon keskellä on jopa nolla! Silti edelleen kaikkien aaltofunktion neliöiden kuvaajien pinta-alat ovat täsmälleen yksi, koska myös viritystiloilla ollessaan hiukkanen on varmasti jossakin laatikon sisällä.

Alla olevassa animaatiossa 3 on esitetty viritystilojen $\psi_n$ kuvaajia ja todennäköisyysjakaumia, kun $n\rightarrow \infty$. Huomaa, että hiukkasen todennäköisyysjakauma tulee sitä tasaisemmaksi mitä korkeampi viritystila on kyseessä. Tämä on esimerkki nk. Bohrin vastaavuusperiaatteesta, jonka mukaan suurilla kvanttilukujen arvoilla kvanttimekaniikka lähestyy klassisen mekaniikan tuloksia. Klassisen mekaniikan mukaan (ajan suhteen keskiarvoistettu) todennäköisyysjakauma kappaleelle laatikossa olisi täysin tasainen.

Video 3. Yksiulotteisessa laatikossa olevan hiukkasen viritystilojen $\psi_n$ kuvaajia ja todennäköisyysjakaumia $\psi_n^2$, kun $n\rightarrow \infty$.

Yllä tarkastelimme aaltofunktioiden muotoa, mutta entä sitten energiat? Tila $\psi_1$ on mutkikkaampi kuin $\psi_0$, joten tilan 1 liike-energia on perustilan liike-energiaa suurempi. Tilan 2 liike-energia on vielä sitäkin suurempi. Tilat 1 ja 2 ovat suurempien energioiden viritystiloja, eli $E_0 \lt E_1 \lt E_2$. Potentiaalienergia kaikkialla laatikon sisällä on nolla ja kaikki tilat ovat kokonaan laatikon sisällä, joten kaikkien tilojen potentiaalienergia on tasan nolla. Voimme piirtää tilat energiadiagrammiin, jossa tilat on pinottu päällekkäin kokonaisenergian mukaiseen järjestykseen.

Kuva 18. Yksiulotteisessa laatikossa olevan hiukkasen energiadiagrammi.

Ahaa..! Nyt alkaa hahmottumaan yhteys kvantittuneisiin tiloihin, vetyatomin spektreihin, sun muihin. Mutta miten hiukkanen "valitsee" tilansa ja miten tilat vaihtuvat?

Tila määräytyy systeemin historiasta ja vuorovaikutuksesta ympäristön kanssa. Ilman vuorovaikutusta systeemin kanssa tilasta ei ole varmuutta. Tilojen väliset siirtymät tapahtuvat kvanttihyppyjen kautta. Videossa 4 tutkitaan kvanttihyppyä tilalta $1$ tilalle $0$.

Video 4. Siirtymä viritystilasta $\psi_1$ perustilaan $\psi_0$ ei tapahdu jatkuvasti, vaan välittömän kvanttihypyn kautta.

Aaltofunktiota $\psi_1(x)$ ei voi muokata jatkuvasti siten, että hiukkasen olemisen kokonaistodennäköisyys olisi koko ajan tasan yksi samalla kun aaltofunktio muuttuisi $\psi_1$:stä $\psi_0$:aan. Kvanttihypyn siis täytyy todella olla välitön siirtyminen tilalta toiselle, ja hiukkasen on hypyn aikana jollakin tavoin vuorovaikutettava jonkin ulkoisen asian kanssa; muuten hyppy olisi mahdoton jo energian säilymisenkin vuoksi. Esimerkiksi tässä hiukkanen voisi vuorovaikuttaa tyhjiön fotonikentän kanssa, hypätä korkeammalta energiatilalta $1$ perustilalle $0$, ja samalla synnyttää fotonin, jonka energia vastaa tilojen energieroa $E_1-E_0$.

Ok… ehkäpä tämä riittää tältä erää. Mutta miksi kvanttimekaniikka toimii näin? Mistä Schrödingerin yhtälö on tullut?

Se on syntynyt arvaamalla ja vertaamalla mittaustuloksiin.

Arvaamalla?!

Aivan niin: arvaamalla. Perimmäisiä kaavoja kun ei voi johtaa mistään. Samoinhan on syntynyt vaikkapa myös Newtonin toinen laki $F=ma$; sekin on fysikaalisen maailman matemaattinen malli, joka on osoittautunut toimivaksi suurelle määrälle havaittuja ilmiöitä. Täytyy siis vain arvata jokin yhtälö, laskea mitä siitä yhtälöstä seuraa, ja verrata seuraamuksia havaintoihin ja mittauksiin. Schrödinger sattui arvaamaan hyvän ja toimivan yhtälön, jonka avulla lasketut asiat yksinkertaisesti vastaavat havaintoja ja laboratorioissa tehtyjä mittauksia. Richard Feynman on kuvannut tilannetta nasevasti (ks. YouTube-videon youtube.com/watch?v=EYPapE-3FRw ensimmäinen minuutti). Tässä yhteydessä on myös hyvä muistaa, että aaltofunktio Schrödingerin yhtälöineen ja tulkintoineen — vaikkakin käytännössä toimivaksi osoittautunut — on vain fyysikoiden tapa kuvata todellisuutta; se ei ole itse todellisuus. Mitään fysiikan teoriaa ei koskaan voi todistaa oikeaksi; teorian voi vain todistaa vääräksi kokeellisesti. Toisin sanoen, luonnontieteissä on mielekästä mallintaa vain asioita, joita oikeasti voidaan mitata. Kvanttimekaniikan välittämä kuva todellisuudesta voi vaikuttaa oudolta, mutta mitä muuta mahdollisuutta meillä on kuin hyväksyä tämä outous? Nämä oudot aaltofunktiot ja arvatut yhtälöt  kuitenkin vastaavat havaintoja — ja lopuksi vain sillä on väliä! On siis turhaa murehtia liiaksi sitä millaisen kuvan todellisuudesta kvanttimekaniikka välittää. Meidän tulee vain tarkastella kvanttimekaniikan ennustamia tuloksia ja verrata niitä mittaustuloksiin. 

Okei... Miten sitten atomit liittyvät tähän keskusteluun ja yllä oleviin esimerkkeihin?

Atomien rakenne aaltofunktioineen tulee täsmälleen samalla logiikalla Schrödingerin yhtälöstä. Voimme ajatella kvanttimekaniikan koneistoa vaikka kuten kuvassa 19.

Kuva 19. Kvanttimekaniikan koneisto, jonka sisään laitetaan hiukkasen kokema potentiaalienergia ja joka Schrödingerin yhtälön ratkaisuna tuottaa hiukkasen energiatilat $E_n$ ja aaltofunktiot $\psi_n$, missä $n$ on tiloja luetteloiva kvanttiluku (tai lista kvanttiluvuista). Energoiden ja aaltofunktioiden avulla saadaan selville hiukkassysteemin kaikki ominaisuudet.

Edellä tutkimme tämän koneiston toimintaa etenkin laatikkopotentiaalin avulla. Atomit ratkotaan aivan samalla koneistolla ja samoilla periaatteilla. Ainoa ero on potentiaalin kolmiulotteisuus ja protonin elektronille aiheuttaman potentiaalin muoto; käsitteellistä eroa ei ole. Mutta katsotaan atomeita erillisen kysymyksen Millainen moderni kvanttimekaaninen atomimalli oikeasti on? ääressä.

Yhteenveto:

• Kvanttimekaniikassa hiukkasen tilaa kuvaa aaltofunktio.
• Aaltofunktio ei ole todellisuus, se on todennäköisyyteen perustuva tapa mallintaa todellisuutta.
• Aaltofunktio kuvaa aaltoluonteisen hiukkasen avaruudellista todennäköisyysjakaumaa.
• Hiukkasen aaltofunktiot ja energiat saadaan Schrödingerin yhtälön ratkaisuina.
• Schrödingerin yhtälön avulla saadaan tietää hiukkasen tiloista kaikki tarvittava, kunhan tiedetään hiukkasen massa ja ulkoinen potentiaali.
• Kvanttiluvut indeksoivat hiukkasen tiloja.
• Siirtymät tilojen välillä tapahtuvat epäjatkuvina kvanttihyppyinä.