Kysymyksessä Miten hiukkanen voi olla samaan aikaan kahdessa eri paikassa? tutkimme mikroskooppisten hiukkasen käyttäytymistä kaksoisrakokokeessa ja tulimme johtopäätökseen, että hiukkasilla on myös aaltomaisia ominaisuuksia. Kutsuimme tätä hiukkasten aaltomaisten ominaisuuksien kaksijakoisuutta aalto-hiukkasdualismiksi. Yksittäisten hiukkasten paikat mitattiin pistemäisesti, mutta tuhansien pisteiden muodostama jakautuma, tihentymineen ja harventumineen, muodosti aaltoliikkeelle ominaisen interferenssikuvion. Kaksoisrakokoe osoitti, että klassisen hiukkasen malli ei toimi mikroskooppisille hiukkasille.

Valon suhteen tilanne oli juuri päinvastainen. Kysymyksessä Mikä kvantti oikein tarkoittaa? totesimme, että sähkömagneettisena aaltona pidetty valo käyttäytyykin tietyissä tilanteissa kuten hiukkaset. Valo absorboituu ja emittoituu valokvantteina eli fotoneina, joiden energia määräytyy valon aallonpituudesta. 

Aalto-hiukkasdualismia voitiin siis havaita sekä hiukkasilla että valolla.

Kuva 1. Onko aalto hiukkanen vai onko hiukkanen aalto vai onko kyseessä aaltohiukkas-objekti? Pienissä kokoluokissa aallon ja hiukkasen rajapinta hämärtyy. Tämä aalto-hiukkasdualismi huomattiin kaksoisrakokokeessa.

Onko "hiukkas-aalloilla" ja "aalto-hiukkasilla" sitten mitään eroa?

Erojakin löytyy. Vaikka valoa voidaan kuvata hiukkasina, fotoneina, niille ei voida määrittää liikemäärää kuten tavalliselle hiukkaselle. Tavallisen hiukkasen liikemäärä on $p=mv$, mutta fotoneille kaava ei toimi, koska ne ovat massattomia. 

Klassiset kaavat eivät toimi myöskään fotonin energialle. Mikä kvantti oikein tarkoittaa? -kysymyksessä totesimme, että valokvanttiteorian mukaan fotonin energia riippuu sen taajuudesta, $E=hf$, missä $h$ on Planckin vakio ja $f$ valon taajuus ($f=c/\lambda$). Suhteellisuusteorian avulla fotonin liikemäärälle voidaan johtaa lauseke $p=E/c=hf/c=h/\lambda$. Sekä fotonin energia että liikemäärä riippuvat suoraan fotonin taajuudesta $f$.

Hiukkasten aaltoluonnetta pähkäili etenkin ranskalainen Louis de Broglie (1892-1987). Hän päätteli aaltojen hiukkasluonteen inspiroimana, että massattomien fotonien lait pätisivät myös massallisille hiukkasille. Näin esimerkiksi elektronilla olisi jokin sisäinen aallonpituus. Osoittautui, että tämä sisäinen aallonpituus riippuu elektronin liikemäärästä. De Broglie ulotti päättelynsä vieläkin pidemmälle ja esitti, että tämä aallonpituus olisi ominainen kaikille hiukkasille ja kappaleille. Päättely oli hyvin rohkeaa, sillä idean esittämisen aikaan aalto-hiukkasluonnetta ei massallisilla hiukkasilla oltu vielä edes havaittu. Idea myös herätti kysymyksen, että jos hiukkanen aaltoilee, mikä hiukkasessa oikein aaltoilee?

Myöhemmin de Broglien päättely kuitenkin osoitettiin oikeaksi, muun muassa elektronien kaksoisrakokokeen avulla. Kaksoisrakokokeesta olemme jo keskustelleetkin kysymyksen Miten hiukkanen voi olla samaan aikaan kahdessa eri paikassa? yhteydessä.

Mikä hiukkasen sisäinen aallonpituus sitten on?

De Broglie ounasteli, että aaltohiukkasen sisäinen aallonpituus on $\lambda = h/p$, missä $p$ on hiukkasen liikemäärä ja $h$ on Planckin vakio. Tätä aallonpituutta kutsutaan de Broglien aallonpituudeksi. Esimerkiksi elektronin de Broglien aallonpituus on $\lambda_e=h/(m_ev)$, missä $m_e$ on elektronin massa ja $v$ nopeus. Huomaa myös, että koska edellä totesimme valon liikemäärän olevan $p=h/\lambda$, niin valon de Broglien aallonpituus on täsmälleen sama kuin valon aallonpituus $\lambda$ — kuten odottaa saattaakin.

Miten tämä aallonpituuskeskustelu liittyy alkuperäiseen kysymykseen hiukkasen paikan mittaamisesta?

Klassisen hiukkasen tilan määrittämiseen tarvitaan sijainti (hiukkasen paikka) ja liikemäärä (liikkeen suunta ja suuruus). Nämä kaksi ominaisuutta määrittävät hiukkasen kaikki muut ominaisuudet; ne siis kuvaavat hiukkasen tilaa täydellisesti. Mutta entäpä aaltohiukkanen? Voimmeko määrittää aaltohiukkasen tilan täsmällisesti samalla tavoin? Voimmeko kuvata aaltohiukkasen tilaa täsmällisesti määrittämällä sen sijainnin ja liikemäärän täsmällisesti?

Aaltohiukkasen tilan kuvaaminen tällä tavoin on ongelmallista, sillä sijainnin ja liikemäärän tarkka yhtäaikainen määrittäminen osoittautuu mahdottomaksi. Tämä johtuu siitä, että aaltohiukkasen liikemäärän sanelee aallonpituus (de Broglien aallonpituuden kautta); aallonpituus ja sijainti puolestaan ovat kytkeytyneet toisiinsa syvällisesti. Tarkastellaan tätä ajatuskokeen avulla.

Pitelette kaverisi kanssa pitkää hyppynarua jännitettynä. Kaverisi pitää oma päätänsä paikallaan, kun sinä heilautat narua kerran rivakasti ylös ja alas. Narussa lähtee etenemään poikittainen aalto eli aaltopulssi, samalla kun toinen kaveri ottaa aaltoilevasta narusta valokuvan etäämmältä. Yritätte valokuvasta määrittää sekä aallon sijainnin että aallonpituuden.

Kuva 2. Hyppynarussa etenevä aaltopulssi. Aaltopulssin paikka voidaan määrittää kohtaan $x_0$ pienellä epävarmuudella $\Delta x$. Aallonpituuden mittaaminen kolmesta eri paikasta antaa kolme eri suuruista aallonpituutta.

Arvioitte pulssin sijaitsevan suunnilleen kohdassa $x_0$, mutta sijainti ei ole täsmällinen, sillä pulssilla on myös koko, $\Delta x$. Koko $\Delta x$ on siten eräänlainen mitta pulssin sijainnin epätarkkuudelle. Pulssin aallonpituuden määrittäminen on myös haastavaa, sillä lyhyessä aallossa ei ole selvää, itseään toistavaa jaksoa. Yritätte määrittää aallonpituuden samassa vaiheessa olevien kohtien avulla pulssin vasemmalta reunalta ($\lambda_1$), pulssin oikealta reunalta ($\lambda_2$) tai pulssin keskeltä ($\lambda_3$). Kaikki kolmella tavalla mitatut aallonpituudet ovat kuitenkin eri suuret. Aallonpituuden parhaana arviona voidaan käyttää vaikkapa kolmen mitatun aallonpituuden keskiarvoa. Aallonpituuden määrittämiseen jää kuitenkin epätarkkuus, josta kertoo mitattujen aallonpituuksien erotukset. Lopputuloksena on, että saatte määriteltyä lyhyen aaltopulssin paikan melko tarkasti, mutta aallonpituuden epätarkasti.

Teette samalla hyppynarulla toisenkin kokeen. Tällä kertaa heiluttelet narua ylös ja alas toistuvasti, pyrkien säännöllisyyteen. Samalla toinen kaverisi ottaa jälleen valokuvan. 

Kuva 3. Hyppynarussa etenevä useammin toistuva aaltopulssi. Aaltopulssi on keskimäärin paikassa $x_0$, paikan epävarmuus $\Delta x$ on suuri. Aallonpituus on kuvassa mitattuna useasta eri paikasta, ja kaikista paikoista mitattuna se on jokseenkin yhtä suuri. 

Valokuvasta huomaatte, että naruun syntyneen aallon jakso toistuu säännöllisemmin. Toistuvan jaksorakenteen avulla saatte määritettyä aallonpituuden melko tarkasti, vaikka pieni epävarmuus aallonpituuden määrittämiseen jää edelleenkin. Aallon sijainnin määrittäminen menee kuitenkin vaikeaksi. Aalto on käytännössä jakautunut koko hyppynarun pituudelle, joten aallon sijainnilla on suuri epätarkkuus $\Delta x$. Lopputuloksena on, että saatte määriteltyä pitkän aaltopulssin aallonpituuden melko tarkasti, mutta aallon sijainnin epätarkasti.

Ajatuskokeesta opimme, että kun yritämme rajoittaa aallon kokoa ja määrittää sen paikan tarkasti, aallonpituuden määrittämisestä tulee epätarkkaa. Samoin, kun yritämme määrittää aallonpituuden tarkasti, täytyy aallon antaa levittäytyä laajalle alueelle, jolloin aallon paikan määrittämisestä tulee epätarkkaa. Tämä sijainnin ja aallonpituuden tarkan määrittämisen keskinäinen ristiveto on läsnä kaikessa aaltoliikkeessä, aina naruissa etenevistä pulsseista musiikkiin — ja tietenkin hiukkasten aineaaltoihin, joista nyt varsinaisesti keskustelemme.

Aineaalloille aallonpituuden epätarkkuus puolestaan tarkoittaa de Broglien kaavan vuoksi liikemäärän epätarkkuutta.

Eli hiukkasilla paikka ja liikemäärä ovat aina jossakin määrin epätarkkoja?

Joo, ja näitä epätarkkuuksia voi kuvata täsmällisestikin — vaikka täsmällisistä epätarkkuuksista puhuminen saattaakin kuulostaa hassulta. Tutkitaanpa asiaa.

Aaltopulssien paikkoja ja aallonpituuksia voi lähestyä kätevästi Fourierin analyysin avulla. Analyysin mukaan kaikenlaiset aallot voidaan esittää trigonometristen funktioiden, kuten sini- ja kosinifunktioiden sarjan summana. Esimerkki lähestymistavasta alla (Video 1). 

Video 1. Hieman kantikkaan aaltopulssin esittäminen Fourierin sarjana. Aaltopulssi $f$ (punainen) voidaan esittää kuuden eri aallonpituuden siniaallon (siniset aallot) sarjan summana. Siniaallot ovat sarjassa mukana eri painotuksilla, joita kuvaavat oikealla olevien piikkien korkeudet. Fourierin analyysin avulla nähdään, kuinka kantikas aaltopulssi sisältää siniaaltoja useilla eri aallonpituuksilla (Lucas V. Barbosa 2013, CC0, Wikimedia Commons).

Aloitetaan tässä kuitenkin yhdestä sinifunktiosta. Funktion $y(x)=\sin(2\pi x/\lambda)$ aallonpituus on täsmälleen $\lambda$, vailla epävarmuutta. Epävarmuuden poissaolo kuitenkin vaatii, että aalto on äärettömän pitkä, se lähtee miinus äärettömästä ja jatkuu plus äärettömyyteen täsmälleen samalla tavoin itseään toistaen. Tällaisen sinifunktion aallonpituuden epävarmuus on äärettömän pieni ja paikan epävarmuus äärettömän suuri. Mikäli aalto olisi äärellisen mittainen, aallonpituuden mittaamisessa tulisi epävarmuutta, vähintäänkin aallon päätyjen äärellä. 

Kuva 4. Äärettömän pitkä siniaalto. Tälle aallolle aallonpituus $\lambda$ voidaan määrittää täsmällisen tarkasti, mutta paikkaa ei lainkaan eli paikan epävarmuus $\Delta x$ on ääretön.

Entä päinvastainen tilanne? Miten muodostaisimme aallon, jonka sijainnin tiedämme tarkasti? Sijainnin tarkka tieto tarkoittaisi, että aallon amplitudi olisi nolla kaikkialla muualla paitsi yhdessä kohdassa. Aalto muodostuisi yhdestä, terävästä aallonharjasta. Tutkitaan asiaa seuraavalla animaatiolla.

Video 2. Terävän aallonharjan muodostuminen monen kosinifunktion summana. (Teply 2012, CC0, Wikimedia Commons)

Videon perusteella näyttäisi siltä, että superposition piikki kasvaa ja kapenee sitä enemmän mitä useampi kosiniaalto sarjaan liitetään. Ja tosiaan, kun eri aallonpituuksien kosiniaaltojen määrä sarjassa lähestyy ääretöntä, piikistä kasvaa äärettömän korkea ja äärettömän kapea. Kosiniaaltojen vaihe täsmälleen keskellä on aina sama, muualla vaihe vaihtelee; aaltojen interferenssi on välillä konstruktiivista, välillä destruktiivista, paitsi täsmälleen keskellä, jossa se on aina konstruktiivista. Fourierin analyysin perusteella voimme siis päätellä, että tällaisessa sarjassa paikan epävarmuus on äärettömän pieni, mutta aallonpituuden epävarmuus äärettömän suuri.

Tuo Fourierin analyysi siis kertoi ihan saman mitä hyppynaruesimerkki, ainoastaan eri tavoin?

Niin, hyppynaruesimerkissä arvioimme paikkaa ja aallonpituutta suoraan graafisesti, Fourierin analyysissä kaikki jaetaan sini- ja kosinifunktioiden sarjoiksi. Samaa asiaa tarkastellaan vain eri tavoin. Joka tapauksessa, tarkka aallonpituus siis vaatii äärettömän pitkän siniaallon, jonka paikkaa ei voi määrittää. Tarkka paikka puolestaan vaatii äärettömän lyhyen aallon, jonka aallonpituutta ei voi määrittää. Suo siellä, vetelä täällä.

Hiukkasten aaltoluonteen vuoksi nämä kilpailevat taipumukset vaikuttavat myös hiukkasten käyttäytymiseen. De Broglien relaatio $\lambda = h/p$ kertoo, että epätarkkuus aallonpituudessa $\lambda$ tarkoittaa epätarkkuutta myös liikemäärässä $p$.  

Tämä tarkoittaa suoraan, että hiukkasen sijaintia ja liikemäärää ei voi määrittää tarkasti samaan aikaan. Tämä määrittämisen vaikeus ei riipu mittauslaitteiston tarkkuudesta, vaan hiukkasen aaltoluonteesta. Sijainnin ja liikemäärän tarkka samanaikainen määrittäminen on aaltohiukkaselle yksiselitteisesti mahdotonta.

Kvanttimekaniikassa tätä ilmiötä kutsutaan Heisenbergin epätarkkuusperiaatteeksi saksalaisen fyysikko Werner Heisenbergin (1901 – 1976) mukaan. Heisenberg johti teoreettiset rajat niille tarkkuuksille, joilla sijainti ja liikemäärä voitaisiin samanaikaisesti määrittää ja siten mitata edes periaatteessa. Heisenbergin mukaan liikemäärän ja paikan epävarmuuksien tulo on alhaalta rajoitettu eli

$\Delta p \Delta x \geq \hbar/2,$ 

missä $\Delta x$ on sijainnin epätarkkuus, $\Delta p$ on liikemäärän epätarkkuus ja $\hbar$ on redusoitu Planckin vakio ($\hbar=h/2\pi$). Epätarkkuusperiaatteen epäyhtälöön voi päätyä Fourierin sarjoja summailemalla, mutta tässä yhteydessä meidän on syytä hyväksyä epäyhtälö annettuna, ilman todistusta.

Epätarkkuusperiaate kertoo, että mitä tarkemmin sijainti tiedetään, sitä epätarkemmin liikemäärä on mahdollista määrittää tai mitä tarkemmin liikemäärä tiedetään, sitä epätarkemmin sijainti tiedetään. Epätarkkuusperiaate kertoo kuitenkin vain tarkkuuksien alarajat; sijainnin ja liikemäärä epätarkkuuksien tulo voi olla (ja yleensä onkin!) paljon suurempi kuin $\hbar/2$.

Voisiko ottaa pari esimerkkiä tähän väliin?

Heisenbergin epätarkkuusperiaate tosiaan liittyy niin intiimisti suuruusluokkiin, että arjessa se on huomaamaton. Joten katsotaan toki pari esimerkkiä.

Tarkastellaan ensimmäisenä esimerkkinä meille jo tuttua aaltojen diffraktiota. Muistanet edellisestä kysymyksestä Voiko hiukkanen olla kahdessa eri paikassa yhtä aikaa? elektronien diffraktiokuvion yksittäisestä raosta? 

Kuva 5. Aaltohiukkasen diffraktio yksittäisestä raosta. Hiukkanen ei jatka raon jälkeen suoraviivaisesti eteenpäin, eikä muodosta raon levystä, tarkkarajaista hiukkasjakaumaa varjostimelle (vasemmalla). Sen sijaan hiukkasaalto diffraktoituu eri suuntiin ja muodostaa varjostimelle leveän hiukkasjakauman, jolla on epätarkka raja (oikealla).

Varjostimella ei nähty terävärajaista jakaumaa, kuten rantapalloille, vaan hiukkasaaltojen diffraktion vuoksi epämääräinen, leveä hiukkasjakauma. Tämän diffraktion voi ymmärtää Heisenbergin epätarkkuusperiaatteen kautta seuraavalla tavalla. Kun vasemmalta tasomaisena aaltona saapuva hiukkanen läpäisee raon, niin paikan pystysuora epätarkkuus raon kohdalla on raon suuruinen. Voimme siis ajatella, että kapean raon läpäisy aiheuttaa hiukkasen liikemäärän pystysuoralle komponentille epätarkkuuden $\Delta p_y \approx \hbar/(2\Delta y)$. Tämän liikemäärän pystysuoran komponentin vuoksi aalto diffraktoituu eri suuntiin. Pystysuoran liikemäärän epätarkkuus on kääntäen verrannollinen raon leveyteen $\Delta y$, joten diffraktio on sitä suurempi mitä kapeampi on rako. Juuri näin hiukkasten diffraktio käyttäytyy myös kokeellisesti.

Tarkastellaan toisena esimerkkinä vaikkapa vetyatomia, jossa on ydintä kiertelemässä yksi elektroni. Vetyatomin koko on noin 0,1 nm eli 1 Å, jonka voisimme vaikka ottaa elektronin sijainnin epätarkkuudeksi — elektronihan nimenomaan on paikallistunut tuon kokoiselle alueelle jotenkin epämääräisesti. Oletetaan siis $\Delta x = 1$ Å. Elektronin liikemäärän epätarkkuus saadaan Heisenbergin epätarkkuusperiaatteesta $\Delta p=\hbar/(2\cdot \Delta x)$. Jos atomi on paikallaan, niin elektronin kokonaisliikemäärä on nolla ja elektronin liikemäärän epätarkkuuden täytyy silloin luonnehtia elektronin liikemäärän suuruusluokkaa ylipäätään. Voisimme siis arvioida, että elektronin liike-energia $K\approx \frac{1}{2}\Delta p^2/m_e$. Lasku antaa elektronin liike-energiaksi noin yhden elektronivoltin. Laskun tulos on oikeaa liike-energiaa pienempi, mutta suuruusluokaltaan oikea. (Epävarmuuksia ei yleensä ole tarkoitus vetäistä hatusta, kuten yllä, mutta tällainen rohkea arviointi kelvatkoon karkean suuruusluokka-arvion tekemiseen.) 

Epämääräisyysperiaatetta voi tarkastella myös toisesta näkökulmasta, mittausten kannalta. Hiukkasen paikan tarkkaan mittaamiseen tarvitaan valoa, jolla on lyhyt aallonpituus, sillä valolla mittaamisen paikkaresoluutiota rajoittaa valon aallonpituus. Tällaisen valon fotonin energia $E=hc/\lambda$ on Planckin mukaan suuri, jolloin hiukkasta mittaava fotoni antaisi hiukkaselle voimakkaan potkun. Tämän potkun vuoksi hiukkasen liikemäärä puolestaan muuttuisi voimakkaasti. Toisin sanoen, paikan mittaus olisi tarkka, liikemäärästä tulisi epätarkka.

Epämääräisyyksien kytkeytyminen on siis aika veikeä ilmiö, mutta ei ehkä niin outo kun voisi ajatella. Liikemäärä kun liittyy nopeuteen ja nopeus puolestaan paikan muutokseen ajan suhteen. Siksi ei pitäisi olla kovinkaan merkillistä, että liikemäärän ja paikan epätarkkuudet ovat toisiinsa kytketyt, tavalla tai toisella. Olemme nähneet, että Heisenbergin epätarkkuusrelaatio johtuu hiukkasen aaltoluonteesta.

Mutta epämääräisyysperiaate ei kuitenkaan ole kovinkaan intuitiivinen.

Ei niin, sillä kyseessä on puhtaasti kvanttimekaaninen ilmiö. Siihen on meidän vaikea suhtautua klassisine maailmankuvinemme.

Liikemäärä ja paikka eivät kuitenkaan ole edes ainoita ominaisuuksia, joille voidaan muodostaa epämääräisyysperiaate. Samanlainen epämääräisyysrelaatio löytyy myös energialle ja ajalle: energian ja ajan epävarmuuksien tulo on alhaalta rajoitettu eli

$\Delta E \Delta t \geq \hbar/2.$

Tässä relaatiossa $\Delta E$ on jonkin kvanttimekaanisen tilan energian epätarkkuus ja $\Delta t$ tilaan liitetyn ajan epätarkkuus. Relaation mukaan tilan energian ja ajan määrittelyjen tarkkuuksilla on alaraja. Alarajan voidaan tulkita esimerkiksi siten, että mitä lyhyemmän ajan systeemiä mittaamme, sitä epätarkemmin tiedämme sen energian. Ja mitä tarkemmin systeemin energia mitataan, sitä huonommin tiedämme milloin hiukkasella tuo energia on. Systeemin energiaa ja aikakäyttäytymistä ei molempia voida mitata täsmällisesti. Ja aivan kuten paikan ja liikemäärän epämääräisyysperiaate, epätarkkuudet ovat periaatteellisia eivätkä riipu mittauslaitteiston tarkkuudesta.

Tämä epätarkkuusperiaate voidaan perustella hyvin samalla tavalla kuin paikan ja liikemäärän epätarkkuusperiaate. Tarkastellaan vaikka valoaaltoa eli fotonia, kuten alla olevassa kuvassa. Fotonin energia on $E=hf$. Taajuus $f$ on yhden värähtelyn jaksonajan käänteisluku $f=1/T$. Kun värähtelyn jaksoja on vähän, aalto on lyhyt, se on ajallisesti hyvin määritelty ja ajan epämääräisyys $\Delta t$ on pieni. Samalla värähtelyn jaksonaika $T$ on epätarkka, joten energian epämääräisyys $\Delta E$ on suuri. Edelleen, kun värähtelyn jaksoja on paljon, aalto on pitkä, se on ajallisesti huonosti määritelty ja ajan epämääräisyys $\Delta t$ on suuri. Samalla kuitenkin värähtelyn jaksonaika $T$ on tarkka ja energian epämääräisyys $\Delta E$ on pieni. Aallon ajan ja energian epämääräisyydet ovat täten toisiinsa kytketyt. Mekanismi on siis samanlainen kuin paikan ja liikemäärän suhteen. 

Kuva 6. Ajallisesti lyhyt ja pitkä pulssi. Aiempi pulssi kestää lyhyen ajan $\Delta t_1$. Se värähtelee vain pari kertaa, joten pulssin jaksonaika on epämääräinen, taajuus on epämääräinen ja siten myös energia on epämääräinen. Lyhyempi pulssi kestää pidemmän ajan $\Delta t_2$. Se värähtelee useamman kerran, joten pulssin jaksonaika on tarkempi, taajuus on tarkempi ja siten myös energia on tarkempi.

Energian ja ajan epätarkkuudella on käytännön merkitystä esimerkiksi lyhytikäisille hiukkasille. Mikäli vaikkapa atomin ydin on radioaktiivinen ja hajoaa hyvin nopeasti, niin ytimen energiasta tulee tällöin epämääräinen. Esimerkiksi ydinvoimaloissa käytetyn radioaktiivisen uraani-235 -isotoopin puoliintumisaika on lähes miljardi vuotta. ²³⁵U:n energia voidaan siis määrittää hyvin tarkasti. Toisaalta uraanin radioaktiivisen isotoopin ²³⁸U:n  puoliintumisaika on vain nanosekunnin luokkaa. Epätarkkuusperiaatteen nojalla ²³⁸U:n energiaa ei siten voi määrittää paljoa elektronivoltin miljoonasosaa tarkemmin. Monilla niin kutsutuilla alkeishiukkasilla (jotka kuitenkin hajoavat) energian epätarkkuudet voivat olla tuhansia miljardeja kertoja suurempia.

Yhteenveto:

• Kaikilla hiukkasilla on aaltoluonne, jonka de Broglien aallonpituus on $\lambda = h/p$.
• Äärelliselle aallolle aallonpituutta ja aallon sijaintia ei voi määrittää samanaikaisesti tarkasti.
• de Broglien relaation vuoksi sijaintia ja liikemäärää ei voi määrittää samanaikaisesti tarkasti.
• Sijainnin ja liikemäärän epätarkkuuksille $\Delta x$ ja $\Delta p$ pätee Heisenbergin epämääräisyysrelaatio $\Delta p \Delta x \geq \hbar/2$.
• Myös energian ja ajan epämääräisyyksille $\Delta E$ ja $\Delta t$ pätee samanlainen epämääräisyysrelaatio $\Delta E \Delta t \geq \hbar/2$
• Heisenbergin epämääräisyysrelaatio johtuu hiukkasten aaltoluonteesta.