Tähän mennessä olemme oppineet ajan ja pituuden suhteellisuudesta. Eri havaitsijoille aika kuluu eri tahtiin, välimatkat ja pituudet ovat eri mittaisia. He voivat havaita asioiden tapahtuvan jopa eri järjestyksessä. Kaikki havaitsijat ovat silti yhtä oikeassa, sillä yhtä absoluuttista ajankulua tai pituutta ei ole olemassa. Nämä tarkastelut liittyvät Einsteinin suppeaan suhteellisuusteoriaan, jota kutsutaan myös erityiseksi tai erikoiseksi suhteellisuusteoriaksi. 

Suppeassa suhteellisuusteoriassa on kuitenkin ongelma: se ei ole yhteensopiva Newtonin painovoimateorian kanssa. Erityisesti tämä ongelma motivoi Einsteinia aikanaan kehittämään teoriaa edelleen. Kehitys huipentui teorian laajennokseen, yleiseen suhteellisuusteoriaan.

Mikä Newtonin painovoimateorian ja suppean suhteellisuusteorian yhteensovittamisessa sitten mätti? Otetaan siitä selvää. 

Voitaisiinko kuitenkin ensin muistella millainen painovoima on newtonilaisessa, klassisessa mekaniikassa?

Muistellaan vaan. Klassisesti painovoima eli gravitaatio on vetovoima, jonka massallinen kappale kohdistaa toisiin massallisiin kappaleisiin. Kahden kappaleen välinen gravitaatiovoima on 

1. suoraan verrannollinen kappaleiden massojen tuloon ja
2. kääntäen verrannollinen kappaleiden etäisyyksien neliöön.

Nämä ominaisuudet voidaan esittää kaavana

missä $r$ on kappaleiden välinen etäisyys, $m_A$ ja $m_B$ ovat kappaleiden massat, ja $G=6,674 \times 10^{-11}$ Nm$^2$/kg$^2$ on universaali gravitaatiovakio. 

Lisäksi Newtonin kolmannen lain mukaan jokaisella kappaleeseen kohdistuvalla voimalla on olemassa toiseen kappaleeseen kohdistuva vastakkaissuuntainen mutta yhtä suuri vastavoima. Eli kun kappale A kohdistaa gravitaatiovoiman kappaleeseen B, niin kappale B kohdistaa yhtä suuren, mutta vastakkaissuuntaisen gravitaatiovoiman kappaleeseen A, kuten kuvassa 1.

Kuva 1. Massallisten kappaleiden A ja B toisiinsa kohdistamat gravitaatiovoimat.

Korostettaessa gravitaatiolakiin liittyvää, kappaleen aiheuttamaan painovoimaan liittyvää massan ominaispiirrettä, puhutaan gravitaatiomassasta tai painavasta massasta. Gravitaatiomassa voidaan myös määritellä gravitaatiovoiman avulla

Toisaalta, klassisen fysiikan yhteydessä olemme myös oppineet, että massa kasvattaa kappaleen hitautta eli pyrkimystä säilyttää liiketila. Massan hitaus esiintyy selvimmin Newtonin toisessa laissa  $a=F/m$. Laki kertoo, että mitä suurempi massa $m$, sitä pienempi kiihtyvyys $a$. Kun korostetaan kappaleen dynamiikkaan liittyvää massan ominaispiirrettä, puhutaan inertiaalimassasta. Inertiaalimassa voidaan määritellä kappaleeseen vaikuttavan voiman ja sen kokeman kiihtyvyyden avulla 

Gravitaatiolaissa esiintyvät massat eivät liity kiihtyvään liikkeeseen millään tavoin. Maapallo kohdistaa sinuun voiman alaspäin ja sinä maapalloon voiman ylöspäin, vaikka molemmat olisitte täysin paikallaan. Gravitaatiolaissa esiintyvä massan gravitaatioluonne ei siis liity massan hitauteen millään tavoin. Inertiaalimassa liittyy massan hitauteen, gravitaatiomassa massojen toisiinsa kohdistamaan vetovoimaan. Inertiaalimassa ja gravitaatiomassa edustavat siis hyvin erilaisia massan ominaispiirteitä, eikä ole lähtökohtaisesti lainkaan selvää, että ne olisivat yksi ja sama asia. 

Eivätkö ne sitten olekaan sama asia? Eikö massoja ole kuitenkin vain yksi?

Tämä onkin se keskeinen kysymys, jota on syytä tutkia tarkemmin.

Kun kappaleeseen maapallon pinnalla kohdistuu gravitaatiovoima $F=m_{gravitaatio}g$, niin kappaleen saama kiihtyvyys saadaan Newtonin toisesta laista: 

$a=F/m_{inertiaali}=g\cdot m_{gravitaatio}/m_{inertiaali}.$

Inertiaalimassan ja gravitaatiomassan yhtäsuuruus tarkoittaisi, että kaikki kappaleet maan pinnalla putoaisivat kiihtyvyydellä $a=g$, ilman riippuvuutta kappaleen massasta.

Kuvitellaan, että sinulla on kaksi kappaletta, höyhen ja punnus. Pudotat höyhenen, ja se leijuu alas hiljalleen. Sitten pudotat punnuksen, joka kopsahtaa nopeasti lattiaan. 

Tällainen käyttäytyminen on meille tuttua arkikokemuksesta: keveät kappaleet vaikuttavat putoavan alas raskaita nopeammin. Kuten saatat muistaa, asia ei kuitenkaan näin yksinkertainen, sillä gravitaation lisäksi kappaleisiin vaikuttaa myös ilmanvastusvoima. Ilmanvastus vaikuttaa höyheneen suhteellisesti voimakkaammin, mikä aiheuttaa sen hitaan leijumisen alas, kuten kuvassa 2. Punnukseen vaikuttava ilmanvastus on pieni suhteessa painovoimaan, ja se puolestaan putoaa alas nopeammin. 

Kuva 2. Höyhen putoaa alas punnusta hitaammin ilmanvastuksen vuoksi.

Asetetaan seuraavaksi höyhen ja punnus tiiviiseen astiaa, josta imetään ilma pois. Höyhen ja punnus ovat nyt astian pohjalla, tyhjiössä. Mitä luulet tapahtuvan, kun käännämme putken nopeasti ylösalaisin?

Tyhjiöputken tilanteessa kappaleisiin vaikuttaa ainoastaan niitä alaspäin kiihdyttävä gravitaatiovoima. Seurauksena on, että kappaleiden kiihtyvyys on täsmälleen sama, eli ne putoavat yhtä nopeasti: gravitaation aiheuttama kiihtyvyys ei riipu kappaleen massasta. Tämä puolestaan tarkoittaa, kuten edellä totesimme, että inertiaalimassa ja gravitaatiomassa ovat samat, eli $m_{inertiaali}=m_{gravitaatio}$. Tätä yhtäsuuruutta kutsutaan massojen ekvivalenssiperiaatteeksi. 'Hidas massa' ja 'painava massa' ovat yksi ja sama asia.

Kuva 3. Tyhjiössä gravitaatiovoiman aiheuttama kiihtyvyys ei riipu kappaleen massasta, jolloin höyhen ja punnus putoavat yhtä nopeasti.

Samainen koe suoritettiin muun muassa Apollo 15 kuulennolla. Kuu on oiva paikka kokeelle, sillä siellä ei ole ilmakehää eikä näin ollen myöskään ilmanvastusta. Astronautit tiputtivat höyhenen ja vasaran yhtä aikaa samalta korkeudelta. He huomasivat kappaleiden osuvan maahan täsmälleen samanaikaisesti, näin vahvistaen ekvivalenssiperiaatteen näytösluonteisesti.

Tämän lisäksi ekvivalenssiperiaatteen paikkansapitävyys on osoitettu useissa eri kokeissa. Tulos on kiistaton: ekvivalenssiperiaate pätee, gravitaatio- ja inertiaalimassat tosiaan ovat yksi ja sama massa. Ekvivalenssiperiaate toimikin keskeisenä periaatteena, kun Einstein alkoi rakentamaan yleistä suhteellisuusteoriaa.

Hieman tuo inertiaali- ja gravitaatiomassojen erottaminen tuntuu hiusten halkomiselta. Massa mikä massa.

Odota hieman, löydämme ekvivalenssiperiaattelle käyttöä kohtapuoliin. Massat nimittäin eivät olleet ainoa ongelma Newtonin gravitaatiolain ja suppean suhteellisuusteorian yhdistämisessä. 

Kun katsomme gravitaatiolakia, huomaamme gravitaation olevan pitkän kantaman voima. Gravitaation voimakkuus kyllä heikkenee etäisyyden kasvaessa, mutta periaatteessa se silti ulottaa lonkeronsa kaikkialle universumissa. Jopa Linnunradan keskustassa oleva musta aukko kohdistaa gravitaatiovetovoiman sinuun ja maapalloon. Lisäksi, kun katsotaan kuvan 1 gravitaatiovoimien kaavaa, niin voidaan huomata että gravitaatiovoiman pitkästä kantamasta huolimatta kappaleiden toisiinsa kohdistamat gravitaatiovoimat ovat aina yhtä suuret. Tämä liittyy gravitaatiolain ja suhteellisuusteorian toiseen ongelmaan, gravitaatiovoiman välittömyyteen.

Välittömyys tarkoittaa sitä, että jos tiettyyn paikkaan ilmestyy massa tietyllä hetkellä, gravitaatiovoima välittää informaation massan läsnäolosta samalla hetkellä koko universumiin. Gravitaatiomittari 500 valovuoden päässä tästä paikasta värähtäisi välittömästi massan ilmestyessä, vaikka valolta itseltään menisi matkan taittamiseen 500 vuotta. Mitä tämä välittömyys edes tarkoittaisi sen perusteella, mitä olemme oppineet nykyhetken epämääräisyydestä universumissa? (Kysymyksessä Onko kaikkialla maailmankaikkeudessa sama nykyhetki?)

Suppea suhteellisuusteorian mukaan mikään ei voi kulkea valoa nopeammin. Gravitaatiolle tarvittiin siis uusi teoria.

Mainittakoon kuitenkin tässä yhteydessä, että vaikka Newtonin gravitaatioteoriaan liittyy ongelmia, se on edelleen käyttökelpoinen. Newtonin teoria toimii hyvin sekä arkipäivän tilanteiden että planeettojen liikeratojen kuvaamiseen, joitakin poikkeuksia lukuun ottamatta.

Miten Einstein sitten selitti gravitaation?

Einsteinin teorian kannoille pääsee parhaiten ajatuskokeiden avulla. Tarkastellaan kahta astronauttia, Unoa ja Isaa, jotka löytävät avaruudesta irrallisen laatikon ja laskeutuvat sen pinnalle sitä tutkimaan. Uno vetää lyhemmän tikun ja jää vahtimaan rakettia, kun pidemmän tikun vetänyt Isa lähtee tutkimaan laatikkoa. Isa löytää luukun, josta hän pääsee livahtamaan laatikon sisään. Muutoin laatikko on umpinainen, eikä siinä ole ikkunoita joista voisi nähdä ulos. Isa leijuu avaruuspuvussaan laatikon sisällä ja katselee ympärilleen. 

Yllättäen hän kuitenkin tömähtää laatikon pohjalle! Isasta tuntuu siltä kuin hän olisi tullut takaisin Maan pinnalle, aivan kuin laatikkoon olisi yllättäen syntynyt painovoimakenttä. Hän nousee seisomaan ja huomaa voivansa kävellä laatikon pohjalla. Jokin voima painaa häntä laatikon pohjalle! Isa on hämmentynyt: "Mikä ihmeen taikalaatikko tämä oikein on? Laatikossa täytyy olla jotakin edistynyttä teknologiaa."

Kuva 4. Laatikon sisällä ollessaan Isa yllättäen tömähtää laatikon pohjalle.

Edistyneestä teknologiasta ei kuitenkaan ollut kyse, sillä laatikon ulkopuolelle jäänyt Uno olikin keksinyt tehdä Isalle jäynää. Hän oli kiinnittänyt laatikon katolla olevaan koukkuun köyden, sitonut köyden toisen pään avaruusrakettiin, ja lähtenyt raketilla liikkeelle vakiokiihtyvyydellä 9,81 m/s², laatikkoa perässään vetäen. Tämän kiihtyvän liikkeen vuoksi Isa oli tömähtänyt laatikon pohjalle. Hän oli luullut painon tunteen liittyvän gravitaatioon, vaikka se olikin liittynyt laatikon kiihtyvään liikkeeseen.

Kuva 5. Uno teki Isalle jäynää.

Isaa ei voi väärästä tulkinnasta kuitenkaan moittia. Kiihtyvyys ja painovoima vaikuttavat kappaleiseen samalla tavoin. Isa koki, että jokin veti häntä laatikon pohjaa kohden, mutta hänellä ei ollut mitään keinoa kertoa havainnolleen syytä.

Ahaa! Isalla on yksi ja sama massa, mutta hän ei tässä osaa sanoa mikä voiman aiheuttaa. 

Rakettiesimerkki on kuvitteellinen, mutta on paikkoja, joissa ilmiöön voi törmätä arjessakin: hissit.

Kuvitellaan, että seisot tukevasti paikallaan olevan hissin lattialla. Maapallo kohdistaa sinuun voiman $F_M=mg$ alaspäin ja hissin lattia kohdistaa jalkoihisi voiman $F_L=mg$ ylöspäin. Sinuun kohdistuva kokonaisvoima on nolla, joten kiihtyvyytesi on nolla. Silti tämä "tieto" liittyy vain arkiseen kokemukseen. Hississä olemisen tunne olisi täsmälleen sama tilanteessa, jossa hissi olisi tyhjässä avaruudessa, kiihtymässä ylöspäin kiihtyvyydellä $a=g$. Gravitaatiovoimaa ei olisi olemassa, mutta hissin lattia silti kohdistaisi jalkoihisi ylöspäin kohdistuvan voiman $F_L=mg$. 

Kuva 6. Hissin sisällä koettu painon tunne — joka johtuu lattian jalkoihisi kohdistamasta voimasta — voi olla gravitaation (vasemmalla) tai kiihtyvyyden (oikealla) aiheuttama.

Miten tilanteet voi erottaa toisistaan? Molemmissa tilanteissa hissin lattia kohdistaa jalkoihisi ylöspäin suuntautuvan voiman $F=mg$. Molemmissa tilanteissa painon tunne syntyy tästä lattian jalkapohjiisi kohdistamasta voimasta. Lukiessasi tätäkin tekstiä (oletettavasti) maan päällä, tuntemasi painon tunne ei synny suoraan gravitaatiovoimasta, vaan pinnan (tuolin, sohvan, lattian) sinuun kohdistamasta, ylöspäin suuntautuvasta voimasta. Et millään mittauksella voi selvittää vaikuttaako sinuun gravitaatiovoima vai oletko kiihtyvässä liikkeessä.

Aika yllättävää! Yleensä kuitenkin puhutaan painovoiman tuntemisesta.

Niin; arkipäiväinen puhe ja fysikaaliset termit ovat joskus ristiriidassa. Ja tottahan on, että arkipäivässä gravitaatio on kuin onkin painon tunteen taustalla oleva syy. Painon tunne itsessään kuitenkin johtuu nimenomaan tukipinnan voimasta, ei gravitaatiovoimasta suoraan.

Jatketaan kuvittelua, mutta käännetään näkökulma päinvastoin. Kuvitellaan, että olet pysähtyneen hissin sisällä, tyhjässä avaruudessa. Sinuun ei kohdistu mitään voimia, joten leijailet hississä vapaana. Täsmälleen saman leijailun tunteen kokisit, jos hissi olisi vaijereiden katkettua putoamassa rakennuksen 20. kerroksesta vapaasti alaspäin. Koska kaikki kappaleet putoavat samalla nopeudella (kuten edellä totesimme), putoat hissin kanssa samalla kiihtyvyydellä; toisin sanoen leijut hississä. Gravitaatiovoima vaikuttaa sinuun edelleen, mutta koet olevasi "painoton", koska hissin lattia ei kohdista sinuun tukivoimaa. Et tunne mitään voimia, et edes gravitaatiovoimaa; olet vapaassa pudotuksessa.

Tyhjässä avaruudessa leijaillessa olet inertiaalikoordinaatistossa eli koordinaatistossa, joka ei kiihdy. Kuitenkin maan päällä vapaasti putoavassa hississä et ole inertiaalikoordinaatistossa, koska hissi selvästikin kiihtyy. Silti havaintosi tilanteista ovat identtiset! 

Kuva 7. Leijut hississä samalla tavoin riippumatta siitä oletko levossa tyhjässä avaruudessa vai vapaassa pudotuksessa maan päällä.

Seuraavaksi tulee yllättävä kysymys: oletko nyt onnellinen?

Tä? Mitä tarkoitat?

Anteeksi outo kysymys, mutta kiusaus oli liian suuri. Nimittäin, kun Einstein oivalsi edellä esitetyt asiat painon tunteesta ja sen puuttumisesta, hän kutsui sitä "elämänsä onnellisimmaksi ajatukseksi". Tämä kuvastaa ajatuskokeen merkitystä suhteellisuusteorian synnyssä.

Mitä Einstein sitten oivalsi ajatuskokeiden perusteella? Hän päätteli, että

• Vapaassa pudotuksessa et tunne mitään voimaa siitä yksinkertaisesta syystä, että mitään voimaa ei ole — gravitaatio ei siis ole voima.  
• Paikallisesti inertiaali- ja epäinertiaalikoordinaatistoja ei voida erottaa, minkä vuoksi paikallisesti kaikki voidaan palauttaa inertiaalikoordinaatistoihin ja suppeaan suhteellisuusteoriaan. 

Mitä tarkoittaa paikallisesti?

Tarkastellaanpa mittakaavan merkitystä ajatuskokeessa. Olkoon hissi valtavan leveä, leveämpi kuin itse maapallo. Kun hissiä kiihdytetään avaruudessa, kaikkialla laatikossa koetaan saman suuntainen ja suuruinen lattian tukivoima ylöspäin. 

Kuva 8. Valtavan leveä hissi tyhjässä avaruudessa, kiihtymässä ylöspäin.

Jos sama leveä hissi puolestaan asetetaan maapallon yläpuolelle, hissin keskellä olevat tuntevat lattian tukivoiman voimakkaana suoraan ylöspäin, hissin reunoilla olevat tuntevat lattian tukivoiman heikompana ja suuntautuneena yläviistoon, vastakkaisilla reunoilla eri suuntiin. Tällä tavoin leveässä hississä voisimme erotella ylöspäin suuntautuvan kiihtyvän liikkeen ja gravitaatiovoiman toisistaan. Ja tästä syystä voimme käsitellä koordinaatistoja inertiaalikoordinaatistoina vain paikallisesti, eli mittakaavassa joka on riittävän pieni suhteessa painovoimakentän muutoksiin. Paikallisessa tarkastelussa pärjäämme hyvin suppealla suhteellisuusteorialla.

Kuva 9. Valtavan leveässä hississä gravitaatiosta aiheutuva voima ei ole yhdensuuntainen eikä yhtä suuri.

Jos kaikki kerran voidaan palauttaa suppeaan suhteellisuusteoriaan, niin mihin yleistä suhteellisuusteoriaa tarvitaan?

Yleinen suhteellisuusteoria tarjoaa työkalut maailmankaikkeuden tutkimiseen isossa mittakaavassa. Se myös kertoo, mistä gravitaatio johtuu. 

Johtuuko se avaruuden kaareutumisesta, josta usein kuulee puhuttavan?

Siitäpä juuri. Tutkitaan seuraavaksi mistä gravitaatio oikein johtuu ja kuinka se toimii. 

Einstein ehdotti, että elämme massan kaareuttamassa avaruudessa. Pyritään rakentamaan kaareutumisesta jonkinlainen mielikuva. Aiemmissa kysymyksissä olemme oppineet, että asiat monimutkaistuvat ulottuvuuksien kasvaessa, joten vähennetään niitä. Kuvitellaan avaruus kaksiulotteiseksi tasoksi, jossa kuitenkin elää kolmiulotteisia objekteja. (Ei takerruta kolmanteen ulottuvuuteen, vaan koitetaan hyväksyä analogia puutteineen.) Avaruuden rakenne kuvitellaan elastiseksi kalvoksi. Kun massaa ei ole missään, kalvo on tasainen eli avaruus on laakea. Kun kalvon asetetaan kappale, se joustaa ja venyy eli kaareutuu. Mitä massiivisempi kappale, sen suurempi venymä ja kaareutuma.  

Kuva 10. Kappaleen massa kaareuttaa avaruutta kuin kaksiulotteista elastista kalvoa. Ilman massaa kalvo on tasainen, laakea. Mitä massiivisempi kappale, sen suurempi venymä.

Kolmessa ulottuvuudessa kaareutuminen tapahtuu samalla tavoin; sitä on vain vaikeampi havainnollistaa, vaikka kuvassa 11 siihen on pyritty.

Kuva 11. Ilman massaa kolmiulotteinenkin avaruus on täysin laakea (vasemmalla). Avaruudessa sijaitseva massa kaareuttaa ympärillään olevan avaruuden rakennetta.

Massa siis aiheuttaa kaareutumista, mutta miten kaareutuminen sitten liittyy gravitaatioon?

Kaareutuminen liittyy geometriaan, joten meidän tulee sukeltaa hetkeksi geometrian maailmaan. Tasossa olevalle paperille piirretty viiva näyttäisi kuten kuvassa 12.

Kuva 12. Suora viiva tasolla.

Suora viiva näyttäisi — yllätys! — suoralta viivalta. Piirretään tämän viivan viereen toinen yhdensuuntainen viiva. Koska viivat ovat yhdensuuntaisia, ne pysyvät samalla tavoin vierekkäisinä ilman risteämistä, vaikka jatkaisimme viivoja äärettömän pitkälle. Viivojen välimatka pysyy samana.

Kuva 13. Kaksi yhdensuuntaista viivaa tasolla.

Entä jos piirtäisin suoran viivan pallopinnalle? 

Mutta et voi. Eihän viiva ole suora, jos piirrät sen kaarevalle alustalle.

Niin, viivasta ei tule suora, kun suoruutta tarkastellaan pallopinnan ulkopuolisin silmin. Mutta entä jos ulkopuolisia silmiä ei ole käytettävissä, jos et pääse tarkastelemaan tilannetta pallopinnan ulkopuolelta? Sitä varten meidän onkin syytä määritellä mitä suora viiva tarkoittaa: suora viiva on pisteen A ja pisteen B välinen lyhin reitti. Tämän määritelmän mukaan suoran viivan piirtäminen pallopinnalle on helppoa; valitaan vain kaksi pistettä ja lyhin reitti niiden välillä, kuten kuvassa 14.

Kuva 14. Suora viiva pallopinnalla on lyhin reitti kahden pisteen välillä.

Entä miltä pallopinnalle piirretty suora viiva näyttäisi, jos siirrämmekin sen tasoon? Tasoon siirrettynä suora viiva näyttää oudon kaarevalta, kuten kuvassa 15.

Kuva 15. Tasoon siirrettynä pallopinnan suora viiva näyttää oudon kaarevalta.

Kaarevat pinnat muuttavat myös suorien tasogeometrisiä ominaisuuksia. Kuten edellä jo totesimme, kun piirrämme kaksi yhdensuuntaista viivaa tasolle, viivojen keskinäinen välimatka pysyy aina samana. Viivat eivät koskaan risteä. Jos puolestaan piirrämme tasoon kaksi risteävää viivaa, niin risteyskohdan ulkopuolella viivat etääntyvät toisistaan yhä kauemmas eivätkä koskaan risteä uudestaan. 

Kuva 16. Tasolla yhdensuuntaiset viivat eivät risteä koskaan (vasemmalla). Kaksi risteävää viivaa tasossa risteävät vain yhdessä pisteessä (oikealla).

Kaarevalla pinnalla nämä tasogeometrian ominaisuudet eivät päde. Kaksi yhdensuuntaista suora viivaa voivat risteytyä ja kaksi toisiaan vasten kohtisuoraa viivaa voivat risteytyä useammassa kuin yhdessä pisteessä.

Kuva 17. Pallopinnalla tietyssä (punaisissa) pisteissä yhdensuuntaisten viivojen etäisyys toisistaan muuttuu ja viivat voivat myös risteytyä (vasemmalla). Samoin pallopinnalla kaksi risteävää viivaa risteävät kahdessa (sinisessä) pisteessä pallon vastakkaisilla puolilla (oikealla). (Tämä esimerkki on erityistapaus, joissa nämä kaksi tilannetta ovat keskenään identtisiä.)

Kaarevien pintojen tapauksessa suoraa viivaa kutsutaan yleisesti nimellä geodeesi. Geodeesi on siis lyhin matka kahden pisteen välillä. Arkikielinen ilmaisu geodeesille voisi olla linnuntie.

Kaksiulotteiselle pallopinnalle piirretty suora viiva siis näyttääkin kaareutuvan, kun sitä  tarkastellaan tasossa. Nyt tuleekin keskeinen kysymys: Miltäköhän näyttäisivät kolmiulotteiseen kaarevaan avaruuteen piirretyt suorat viiva? Voisivatkohan ne näyttää paraabeleilta tai ellipseiltä, kuten kuvassa 18?

Kuva 18. Pallon heittorata maan läheisyydessä on paraabeli. Planeetan kiertorata auringon ympäri on ellipsi.

Aavistelen, että olemme tulossa jutun huipennukseen…

Huipennukseen tosiaan olemme tulossa ja se on tämä: kappaleiden liikeradat ovat suoria viivoja massan kolmiulotteisesti kaareuttamassa avaruudessa. Gravitaatio ei siis ole voima alkuunkaan. Kappaleet vain liikkuvat suoraviivaisesti pitkin geodeesiratoja kaareutuneessa kolmiulotteisessa avaruudessa. Pallon liikerata ei ole paraabeli, vaan suora viiva kaareutuneessa avaruudessa. Planeetan liikerata ei ole ellipsi, vaan suora viiva, joka avaruuden kaareutumisen vuoksi palaa säännöllisesti lähtöpisteeseensä, kuten viivat kuvassa 17.

Miten tilallisen avaruuden kaareutuminen sitten liittyy neliulotteiseen aika-avaruuteen?

Kysymyksessä Onko kaikkialla maailmankaikkeudessa sama nykyhetki?  tosiaan opimme, että aika on ulottuvuus siinä kuin kolme avaruusulottuvuuttakin.

Kaareuttaako massa siten myös aikaa?

Massa kaareuttaa myös aikaa. Aiemmin opimme, että liikkuvan havaitsijan aika kulkee hitaammin suhteessa paikallaan olevan aikaan. Tätä ajan kulun hidastumista kutsuttiin aikadilaatioksi. Osoittautuu, että aikadilaatiota aiheuttaa myös gravitaatio: mitä voimakkaampi gravitaatio, sen hitaammin käy kello. Maassa oleva kello käy hiukan hitaammin suhteessa kellotornin huipulla olevaan kelloon. 

Esimerkiksi satelliitteihin vaikuttaa sekä nopeudesta aiheutuva ajan hidastuminen että gravitaatiosta johtuva ajan nopeutuminen suhteessa maanpinnalla paikallaan olevaan havaitsijaan. Ilmiöiden vaikutukset on esitetty kuvassa 19. Lähellä maanpintaa aikadilaatio syntyy ensisijaisesti ratanopeudesta, joten aika kiertoradalla kulkee hitaammin kuin maassa. Tällaisella kiertoradalla on esimerkiksi kansainvälinen avaruusasema ISS. Asemalla elävät astronautit ikääntyvätkin hieman hitaammin kuin me täällä maapallolla. Kauempana maanpinnasta olevilla kiertoradoilla ajan juoksu nopeutuu sekä gravitaation heiketessä että ratanopeuden pienentyessä siten, että muutaman tuhannen kilometrin korkeudessa vastakkaiset aikadilaatiot kumoutuvat ja aika kulkee samaa tahtia kuin maanpinnalla. Tätä etäisemmillä kiertoradoilla gravitaatio dominoi aikadilaatiota, sillä ratanopeus pienenee, mikä vähentää nopeudesta johtuvaa aikadilaatiota. 

Tällaisilla etäisillä radoilla sijaitsevat GPS-satelliitit, joiden aika kulkee nopeammin kuin maanpinnalla. Esimerkiksi kiertoradoilla n. 20 000 km:n korkeudessa satelliitin kello edistää 400-500 pikosekuntia yhdessä sekunnissa. Päivän aikana edistäminen kumuloituisi 40 mikrosekuntiin, mikä valonnopeuden kautta etäisyyksiksi muutettuna tarkoittaisi yli 10 kilometrin heittoa GPS:n tarkkuudessa! GPS:n toiminta perustuu siis voimakkaasti suhteellisuusteoriaan. 

Hyvin kaukana tyhjässä avaruudessa aika puolestaan edistää noin 700 pikosekuntia verrattuna maan sekuntiin. Tämä tarkoittaa, että kaukoavaruudessa oleva astronautti eläisi viidenkymmenen vuoden aikana noin sekunnin pidempään kuin me täällä maan pinnalla.

Kuva 19. Aikadilaatio maapallon gravitaatiokentän läheisyydessä. Vaaka-akselilla on satelliitin kiertoradan etäisyys maan keskipisteestä ja pystyakselilla ajankulun ero suhteessa maanpinnalla olevaan havaitsijaan. Vihreä käyrä esittää ajan nopeutumista pienemmässä gravitaatiokentässä, punainen käyrä esittää ajan hidastumista satelliitin ratanopeuden vuoksi. Sininen käyrä esittää näiden ilmiöiden summaa.

Kaareutuvan avaruuden voi jotenkin mieltää, mutta neliulotteisen kaareutuvan aika-avaruuden kuvitteleminen aikadilaatioineen on kyllä vaikeaa.

Vaikeaa se on fyysikoillekin. Onneksi kaareutumisen ymmärtämistä ei tarvitse jättää pelkän visuaalisuuden ja mielikuvituksen varaan: käytössämme on myös matematiikka. Matemaattisesti yleinen suhteellisuusteoria  kaareutuvine aika-avaruuksineen nimittäin tiivistyy Einsteinin kenttäyhtälöihin. Yhtälöt ovat kymmenen yhtälön joukko, joka kertoo, kuinka massa ja energia kaareuttavat aika-avaruutta ja kuinka kappaleet kaareutumisen vuoksi tässä avaruudessa liikkuvat. Lyhyesti esitettynä kenttäyhtälöt ovat

missä termien merkitykset ovat seuraavat:

• $G$ on Newtonin gravitaatiovakio ja $T_{\mu\nu}$ on energia-liikemäärä -tensori, joka sisältää informaation aineesta ja energiasta.
  
• $g_{\mu\nu}$ eli metriikka sisältää informaation aika-avaruuden geometriasta ja $\Lambda$ on kosmologinen vakio, joka kuvaa universumin laajenemista. Erilaisilla kosmologisen vakion arvoilla voidaan kuvata joko laajenevaa, kutistuvaa tai staattista universumia.
  
• Termi $G_{\mu\nu}$ eli Einsteinin tensori kertoo, kuinka aika-avaruus kaareutuu (tensori on eräänlainen vektorin yleistys moniulotteisen tiedon kuvaamiseen, missä indeksit $\mu$, $\nu=1,2,3,4$ kuvaavat kolmea avaruus- ja yhtä aikaulottuvuutta). Tensorikin on funktio metriikan eli $g_{\mu\nu}$:n ensimmäisistä ja toisista derivaatoista eli kyseessä on lopultakin vain liikeyhtälö metriikalle.

Toisin sanoen, yhtälöiden vasemmalla puolella on tieto aika-avaruuden rakenteesta ja oikealla puolella tieto avaruudessa olevasta aineesta ja energiasta. Selkokielelle käännettynä Einsteinin kenttäyhtälöiden merkitys on siis

Tällä kymmenen yhtälön joukkiolla voimme kvanttiefektejä lukuun ottamatta kuvata lähes koko universumin käyttäytymisen! Valitettavasti yhtälöt ovat haastavia käsitellä.

Mitä yhtälöt sitten kertovat maailmasta? Mistä tiedämme että ne ovat totta?

Niin mielenkiintoisia kuin ajatuskokeet ovatkin, niin muistetaan tosiaan, että fysiikka on ensisijaisesti kokeellinen luonnontiede. Sen vuoksi yhtälöt eivät varsinaisesti ole "totta" tai "väärin", vaikka arjessa usein niin puhutaankin. Voimme sanoa korkeintaan, että mikäli yhtälöiden avulla lasketut ennustukset havaitaan kokeissa, yhtälöt mallintavat maailmaa onnistuneesti. Sellaiset yhtälöt ovat hyödyllisiä. Einsteinin kenttäyhtälöiden ennustukset on vahvistettu kokeellisesti uudestaan ja uudestaan. Ne näyttävät mallintavan maailmankaikkeutta erinomaisesti! 

Alla muutamia esimerkkejä kenttäyhtälöiden toimivuudesta:

Ensimmäisen esimerkin jo mainitsimmekin: GPS. Ratanopeudesta johtuva aikadilaatio liittyy erityiseen suhteellisuusteoriaan, mutta gravitaatiosta johtuva ajan kaareutuminen ja siihen liittyvä aikadilaatio liittyy yleiseen suhteellisuusteoriaan. Taskussasi olevan älypuhelimen paikannustoiminto on siis käytännön todiste yleisen suhteellisuusteorian pätevyydestä.

Toisena esimerkkinä voisimme mainita ilmiön, jonka selittäminen singautti yleisen suhteellisuusteorian maailman tietouteen ja Einsteinin samalla maailman superjulkkikseksi. Teorian mukaan kappaleet kulkevat pitkin suoria viivoja kaareutuneessa aika-avaruudessa. Kun massa kaareuttaa avaruutta, suorat viivat havaitaan taipuneina. Teorian mukaan kaareva liike pätee myös massattomalle valolle; kun valo kulkee massiivisen kappaleen kuten auringon ohi, sen reitti taipuu. Siksi auringon ohi kulkeneen tähden valo taipuu ja tähden näennäinen paikka taivaalla siirtyy. Ilmiö on kuvattuna kuvassa 20.

Kuva 20. Valo taipuu auringon aiheuttaman avaruuden kaareutumisen vuoksi ja siirtää kaukaisten tähtien näennäistä paikkaa taivaalla. (Tässä auringonpimennyksessä avaruutta kaareuttaa myös kuu, mutta efekti on aurinkoon verrattuna mitätön.)

Vuonna 1919 Arthur Eddington suoritti kokeen, jossa havainnoitiin tunnettua tähteä auringonpimennyksen aikaan. Pimennyksen avulla pystyttiin mittaamaan sellaisten tähtien näennäinen paikka taivaalla, joiden valo kulki aivan auringon vierestä. Kokeessa havaittiin, että tähtien näennäiset paikat siirtyivät normaaleilta paikoiltaan juuri tällä tavoin, yleisen suhteellisuusteorian ennustuksen mukaan!  

Kolmas, historiallinen esimerkki liittyy Merkuriuksen perihelin kiertymään. Merkuriuksen aurinkoa lähinnä oleva kiertoradan kohta eli periheli ei pysy aina samalla puolella aurinkoa vaan kiertyy hieman jokaisella kierroksella. Tätä kiertymää Newtonin gravitaatioteoria ei pystynyt selittämään, kuten eivät muutkaan teoriat. Täydellisen kuvauksen ilmiöstä antoi vasta yleinen suhteellisuusteoria. 

Neljäs esimerkki liittyy gravitaatiolinssi-efektiin. Kuten Eddingtonin kokeessa, kun valo kulkee hyvin massiivisen kohteen, vaikkapa suuren galaksin ohi, valo taipuu niin voimakkaasti, että kohteen takana olevat, kaukaisemmat kohteet suurenevat ja vääristyvät. Ilmiötä on havainnollistettu videossa 1. Einsteinin kenttäyhtälöt kuvaavat gravitaatiolinssien toimintaa erinomaisesti.

Lisäksi yleinen suhteellisuusteoria kuvaa kokeiden kanssa yhtäpitävästi mustia aukkoja, gravitaatioaaltoja ja maailmankaikkeutta yleisesti. Toisaalta teorian suurimpia ongelmia ovat vaikeudet sen yhdistämisessä kvanttimekaniikkaan.

Yhteenveto:

• Ekvivalenssiperiaatteen mukaan kappaleen inertiaalimassa ja gravitaatiomassa ovat sama asia $m_{inertiaali}=m_{gravitaatio}$.
• Gravitaation aiheuttama kiihtyvyys ei riipu kappaleen massasta.
• Tasaisesti kiihtyvää liikettä ei voi erottaa gravitaatiosta.
• Yleinen suhteellisuusteoria palautuu lokaalisti suppeaan suhteellisuusteoriaan.
• Yleisen suhteellisuusteorian mukaan massa kaareuttaa neliulotteista aika-avaruutta. Kappaleet liikkuvat pitkin kaareutuneen aika-avaruuden geodeeseja. Aika-avaruuden kaareutuminen saa suorat viivat näyttämään kaarevilta.
• Ajan kaareutuminen havaitaan aikadilaationa; mitä suuremman massan läheisyydessä kello on, sen hitaammin aika kulkee.  
• Yleinen suhteellisuusteoria kiteytyy Einsteinin kenttäyhtälöihin, joiden ennustukset on todennettu kokeellisesti sekä liittyen kappaleiden liikeratoihin että valon reitteihin.